Interaktívna geomeria

Táto kapitola sa zameriava na typológiu vzájomných polôh afinných útvarov – prieniky, rovnobežnosť, rôznobežnosť a mimobežnosť – najmä v priestore, ale aj v rovine. V centre pozornosti sú afinné podpriestory a ich vzťahy cez smerové priestory. Zahrnuté sú praktické príklady a úlohy s odpovedajúcimi  rovnicami priamok a rovín.
Lineárne podpriestory, ktorých prienik je prázdna množina, nazývame disjunktné. Hovoríme aj, že takého podpriestory sa nepretínajú. Ak nie sú dva podpriestory disjunktné, potom sú nedisjunktné (pretínajú sa, majú neprázdny prienik).

Tvrdenie.
Nech $\small \mathbb A^r=(\mathcal A_1,V_1,+), \mathbb A^s=(\mathcal A_2,V_2,+)$ sú lineárne podpriestory priestoru $\small \mathbb A^n$ a $\small V_1,V_2$ sú ich smerové podpriestory. Potom platia nasledovné tvrdenia:

1. Neprázdny prienik podpriestorov $\small \mathbb A^r$ a $\small \mathbb A^s$ je podpriestor, ktorého smer je prienikom $\small V_1\cap V_2$ .
2. Ak je prienik podpriestorov neprázdny $\small \mathbb A^r \cap \mathbb A^s \neq Ø$ a platí, že $\small V_1 \subset V_2$, tak podpriestor $\small \mathbb A^r \subset \mathbb A^s$.

Lineárne podpriestory sa nazývajú:

1. Rovnobežné, ak všetky smerové vektory jedného podpriestoru sú smerovými vektormi druhého.
2. Rôznobežné, ak majú spoločný aspoň jeden bod a žiadny z podpriestorov nie je podmnožinou druhého.
3. Mimobežné, ak sú disjunktné a prienik smerových podpriestorov obsahuje len nulový vektor.

Príklady.
Zistite, aká je vzájomná poloha priamok

1. $\small p: x= 3+t,y=1+t,z=2-t\\ \small q:x=4-t,y=-t,z=2+t$
2. $\small p: x= 3+t,y=1+t,z=2-t\\ \small r:x+y+z-5=0, x-y+2z-8=0$
3. $\small r:x+y+z-5=0,x-y+2z-8=0\\ \small s:x=5+t,y=-t,z=2+t$

Riešenie.

1. Smerové vektory priamok $\small p, q$ sú lineárne závislé, preto $\small V_1 \subset V_2$ uvažované priamky sú navzájom rovnobežné.
2. Ak priamky $\small p, r$ majú spoločný bod $\small P=[x_p,y_p,z_p]$, tak existuje parameter $\small t$, ktorý je riešením sústavy
   $\small x_p= 3+t,y_p=1+t,z_p=2-t$
   a zároveň súradnice $\small [3+t,1+t,2-t]$  tohto spoločného bodu priamky $\small p$  s priamkou $\small r$  musia byť riešením sústavy rovníc
   $\small (3+t)+(1+t)+(2-t)-5=0\\ \small (3+t)-(1+t)+2(2-t)-8=0$
   čiže
   $\small t+1=0\\ \small -2t-2=0$
   ktorá má jediné riešenie $\small t =-1$. Prienikom priamok je teda bod $\small [2 ,0 ,3 ]$ a preto sú priamky rôznobežné.
3. Odpovedajúca sústava nemá riešenie a spoločné vektory sú LN, priamky sú mimobežné

Cvičenie.
Práca (Tisoň, Lineárne podpriestory, dostupné Tu) strana 31.