Interaktívna geomeria

Pri syntetickom prístupe v geometrii sme vychádzame z euklidovského priestoru podľa Euklidových Základov, v ktorom sa základné geometrické útvary (bod, priamka) nedefinovali. Vedeli sme jednoznačne rozhodnúť o pravdivosti výrokov typu: Bod patrí alebo nepatrí danému útvaru. Tento prístup z matematického hľadiska predstavuje zásadný problém: Nevieme jasne zadefinovať, čo je to (bodová) množina.

V predchádzajúcich kapitolách (podobne tomu bolo aj historicky vo vývoji geometrie) boli zavedené základné pojmy:

1. vektor ako prvok vektorového priestoru (štruktúry s predpísanými binárnymi operáciami)
2. štandardná báza $\pmb {e = (\vec e_1, . . . , \vec e_n)}$ vektorového priestoru $\small \mathbb R^n$
3. súradnice vektora $\vec v=(v_1,v_2,...,v_n)$ v štandardnej báze, pričom zrejme platí
   $\small {(v_1,v_2,...,v_n)}=v_1 \cdot (1,0,...,0) \oplus v_2 \cdot (0,1,0,...,0) \oplus v_n \cdot (0,0,...,1)$,

V tejto kapitole budeme využívať prevažne štandardnú bázu $\pmb {e = (\vec e_1, . . . , \vec e_n)}$, ktorej vektory sú navzájom kolmé a majú jednotkovú dĺžku. Takejto báze tiež hovoríme ortonormálová báza.
Súradnice $\small w_1,w_2, ...,w_n$ pevne zvoleného vektora $\small \vec  w$ v danej báze $\small \mathcal{B}=\lbrace{\vec  {b_1},\vec {b_2}, ...,\vec {b_n}}\rbrace$ zapisujeme pomocou dolného indexu
$\small {(w_1,w_2,...,w_n)}_{\mathcal{B}}=w_1 \cdot \vec  {b_1} \oplus w_2 \cdot \vec  {b_2} \oplus ...\oplus w_n \cdot \vec  {b_n}$.

Tieto pojmy nám umožňujú zaviesť afinný priestor axiomaticky pomocou vektorového priestoru.

Definícia (Afinný priestor).
Afinný priestor $\small \mathbb A$ nad poľom $\small \mathbb R$ je trojica $\small (\mathcal{A}, \mathit V, f)$, kde

1. $\small \mathcal{A}$ je množina bodov.
2. $\small \mathbb V$ je vektorový priestor nad poľom $\small \mathbb R$.
3. $\small f : \mathcal{A} \times \mathcal{A} \rightarrow \mathbb V$ je zobrazenie s vlastnosťami:
   (AP1) $\small f(X,Y)+f(Y,Z)=f(X,Z)$
   (AP2) $\small \exists P \in \mathcal{A};\; f_P :\mathcal{A} \rightarrow \mathbb{V};\;X \rightarrow f(P,X)$
   je bijektívne zobrazenie. Pozrite si GeoGebra applet: Príklady afinného priestoru – https://www.geogebra.org/m/wb2cjewy“.

V definícii afinného priestoru sme použili označenie $\small f(X,Y)$, ktoré sa najčastejšie vyskytuje odbornej literatúre. Toto označenie často nahradíme, ktoré sme používali v teórii vektorových priestorov, symbolom $\small \overrightarrow{XY}$. Teda $\small f(X,Y) := \small \overrightarrow{XY}$.

Pripomeňme, že vo vektorovom priestore sme tiež používali termín "bod" v súvislosti s viazaným vektorom $\small \vec  u=AB$, teda len v súvislosti s vektorovým priestorom $\small V_n(\mathbb R)$. V tomto vektorovom priestore voľný vektor $\small \vec  u$ predstavoval usporiadanú $\small n$-ticu reálnych čísel. Začiatok voľného vektora ("bod") mal súradnice (0,0, ..., 0) a koncový "bod" voľného vektora $\small \vec  u$ mal súradnice zhodné so súradnicami daného vektora v štandardnej báze. Vektor sme interpretovali ako posunutie, pohyb. Intuitívne sme používali aj súčet
$\small A + \vec  u$,
ktorý vo vektorovom priestore nevieme určiť (nie je definovaný). Avšak v afinnom priestore to už budeme vedieť definovať, bude predstavovať posunutý bod $\small A$ o vektor $\small \vec  u$.

Poznámky.
Dimenzia (alebo rozmer) afinného priestoru je číslo, ktoré je dimenziou jeho zamerania (dimenziou vektorového priestoru $\small V$). Afinný priestor dimenzie 0, 1, 2 budeme v poradí nazývať bod, priamka, rovina.

Definícia.
(n-1)-rozmerný podpriestor n-rozmerného afinného priestoru $\small \mathbb A$ nazývame nadrovina priestoru $\small \mathbb A$.

Poznámky.
Ak $\small X, Y, Z, A, B,$ sú body afinného priestoru $\small (\mathcal{A}, \mathit V, f)$, tak ľahko nahliadneme platnosť nasledujúcich tvrdení

1. $\small \overrightarrow{XX} = \vec {o}$
2. $\small \overrightarrow{XY} = -\overrightarrow{YX}$
3. $\small \overrightarrow{AX} = \overrightarrow{AY} \Rightarrow X = Y$
4. $\small \overrightarrow{XB} = \overrightarrow{YB} \Rightarrow X = Y$
5. $\small \overrightarrow{XZ} = \vec {o} \Rightarrow X = Z$.

Dôkazy (predchádzajúce tvrdenia).

1. Podľa (A1) platí $\small \overrightarrow{YX} + \overrightarrow{XX} = \overrightarrow{YX}$, odkiaľ $\small \overrightarrow{XX} = \vec {o}$.
2. $\small \vec {o} = \overrightarrow{XX} = \overrightarrow{XY} + \overrightarrow{YX}$, čiže $\small \overrightarrow{XY} = -\overrightarrow{YX}$.
3. Vyplýva priamo z (A2) - bijekcia.
4. Ak $\small \overrightarrow{XB} = \overrightarrow{YB}$, potom $\small -\overrightarrow{XB} = -\overrightarrow{YB}$, teda $\small \overrightarrow{BX} = \overrightarrow{BY}$ a vzhľadom na (3) $\small X = Y$.
5. Nech $\small \overrightarrow{XZ} = \vec {o}$. Pretože aj $\small \overrightarrow{XX} = \vec {o}$, tak $\small \overrightarrow{XZ} = \overrightarrow{XX}$, odkiaľ podľa (3) $\small X = Z$.

Tvrdenie (Rozdiel bodov).
Každými dvomi bodmi afinného priestoru je určený vektor, ktorý je daný ich rozdielom.

Dôkaz (bez súradnicového systému).
Nech $\small (\mathcal{A}, \mathit V, f)$ je afinný priestor nad poľom $\small \mathbb R$. V afinnom priestore je zavedená operácia $\small f$, ktorá každým dvomi bodmi $\small A, B \in \mathbb A$ priraďuje vektor $\small \overrightarrow{AB} \in V$. Táto operácia má nasledujúce vlastnosti:

1. Vektor medzi dvoma bodmi je dobre definovaný, teda existuje zobrazenie
   $\small (A, B) \mapsto \overrightarrow{AB} \in V$,
   ktoré je také, že pre každý pevný bod $\small A$ je zobrazenie $\small B \mapsto \overrightarrow{AB}$ bijektívne zobrazenie z množiny bodov $\small \mathbb A$ do vektorového priestoru $\small V$.
2. Afinná kombinatorika bodov. Pre každé tri body $\small A, B,C \in \mathbb A$ platí:
   $\small \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AC}.$
   Toto znamená, že vektor $\small \overrightarrow{AB}$ jednoznačne popisuje prechod z bodu $\small A$ do bodu $\small B$.
3. Existencia afinného bodu ako referencie.
   Nech je $\small O$ ľubovoľný pevný bod v $\small \mathbb A$ (nepotrebujeme ho interpretovať ako začiatok súradnicového systému, stačí, že existuje). Potom pre každý bod $\small A \in \mathbb A$ existuje jednoznačný vektor $\small \overrightarrow{OA} \in V$, ktorý reprezentuje jeho afinnú polohu voči $\small O$.
4. Vyjadrenie vektora medzi bodmi pomocou rozdielu.
   Pre ľubovoľné body $\small A, B, O \in \mathbb A$ platí:
   $\small \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{OB} - \overrightarrow{OA}.$
   Stačí si uvedomiť, že $\small \overrightarrow{AB} , \overrightarrow{OB} ,\overrightarrow{OA}$ sú vektory, pre ktoré platia grupové operácie sčítania, inverzného (tj. opačného) prvku, ... Preto uvedený rozdiel vektorov $\small \overrightarrow{OB} - \overrightarrow{OA}$ je dobre definovaný vo $\small V$. Keďže výber bodu $\small O$ je ľubovoľný, vidíme, že $\small \overrightarrow{AB}$ závisí iba od bodov $\small A$ a $\small B$, nie od voľby referenčného bodu.

Záver
Ukázali sme, že operácia priradenia vektora dvom bodom je jednoznačne daná ich „rozdielom“, ktorý je chápaný v zmysle vektorového priestoru $\small V$. Definitoricky môžeme písať $\small B-A := \overrightarrow{AB}$

Poznámky.
Ak usporiadaná dvojica bodov $\small (X , Y)$ predstavuje umiestnenie vektora $\small \vec  u$, tak vektor môžeme vyjadriť ako $\small \vec  u =\small {Y - X}$, čo predstavuje zobrazenie
$\small \vec  f : \mathcal{A} \times \mathcal{A} \rightarrow V(\mathbb R)$.

Podmienka (AP2) sa niekedy uvádza takto:
(AP2') $\small \forall X \in \mathcal{A}; \forall \vec u \in V$ existuje práve jeden bod $\small P \in \mathcal{A}$ taký, že $\small f)X,P) =\vec u$.
(AP2'') $\small \forall X,Y \in \mathcal{A}; \exists \vec  u \in V$ taký, že $\small Y=X + \vec  u$.
V tejto kapitole budeme pracovať len s reálnym afinným priestorom nad telesom (poľom) reálnych čísel $\small \mathbb R$. Fundamentálnou vlastnosťou afinného bodového priestoru je axiomatické tvrdenie:

Tvrdenie (Existencia referenčného afinného bodu).
V afinnom priestore $\small (\mathcal{A}, \mathit V, f)$ platí vlastnost’ (AP2) pre ľubovoľný pevne zvolený bod $\small P'$, t.j. $\small \forall P' \in \mathcal{A};\; f_P' :\mathcal{A} \rightarrow \mathbb{V};\;X \rightarrow f(P',X)$ je bijektívne zobrazenie. Stačí si uvedomiť, že $\small f(P′, X) = f(P′, P) + f(P, X))$.

Cvičenie.
Zistite, či usporiadané trojice $\small (\mathcal{A}, \mathit V, f)$ sú afinným priestorom.



Otvorte si dynamické obrázky: ľavý Tu - príklad afinného priestoru; pravý Tu - nie je afinným priestorom.

Poznámky.

1. Afinný priestor budeme tiež jednoducho označovať $\small A$ alebo ako $\small \mathbb A$. Vektorový priestor prislúchajúci afinnému priestoru $\small (\mathcal{A}, \mathit V, +)$ budeme označovať ako $\small V(\mathbb A)$ alebo len $\small V$.
2. Vektorovému priestoru hovoríme tiež zameranie afinného priestoru. Afinný priestor, ktorého zameraním je vektorový priestor nad poľom reálnych čísel nazývame reálny afinný priestor alebo aj aritmetický afinný priestor.
3. Affinis znamená latinsky príbuzný. Prvý krát tento pojem použil Leonhard Euler (1707-1783) pre označenie vzťahu vzoru a obrazu v zobrazení, ktoré zachováva deliaci pomer. Afinná geometria je geometria bez vzdialenosti/miery.

Príklad.
Dané sú množiny (červená)
${\small \mathcal{A}} = \lbrace{ (x_1, x_2, x_3) \in \mathbb R^3 ; x_1 + x_2 -2x_3 = -5}\rbrace$,
množina (modrá)
${\small V} = \lbrace{ (x_1, x_2, x_3) \in {\small\mathbb R^3} ; x_1 + x_2 -2x_3 = 0}\rbrace$
a zobrazenie $f : {\small \mathcal{A} \times \mathcal{A} \rightarrow V(\mathbb R)}$ je odčitovanie trojíc reálnych čísel po zložkách.
Dokážte, že $\small ( \mathcal{A}, V, f)$ je afinný priestor nad poľom $\small \mathbb R$. Dynamický obrázok si otvoríte Tu.

Riešenie.
Pre ľubovoľný bod $\small X[x_1,x_2,x_3] \in \mathcal{A}$ platí, že $\small x_3= \frac{1}{2} (x_1+x_2+5)$.

1. Podmienka (AP1): zo vzťahov
   $\small f(X,Y)=\left [x_1-y_1,x_2-y_2,x_3-y_3 \right ] =\left [ x_1-y_1,x_2-y_2, \frac{1}{2} \left\{(x_1-y_1 )+(x_2-y_2 ) \right\} \right ]$
   $\small f(Y,Z)=\left [y_1-z_1,\;y_2-z_2,y_3-z_3 \right ]=\left [y_1-z_1,\;y_2-z_2, \frac{1}{2} \left\{(y_1-z_1 )+(y_2-z_2 )\right\} \right ]$
   dostávame
   $\small f(X,Z)=\left [ x_1-z_1,x_2-z_2, \frac{1}{2} ((x_1-z_1 )+(x_2-z_2 )) \right ]$,
   čo bolo treba ukázať.


2. Podmienka (AP2): Nech $\small P=[p_1,p_2, \frac{1}{2} (p_1+p_2+5)]$ je pevne zvolený bod a $\small X=[x_1,x_2, \frac{1}{2} (x_1+x_2+5)], Y=[y_1,y_2, \frac{1}{2} (x_1+x_2+5)]$ sú ľubovoľné dva rôzne body.
   Potom je $(x_1 \neq y_1 )∨(x_2 \neq y_2 )$ a zrejme aj pre obrazy
   $\small f(P,X)=\left [p_1-x_1,p_2-x_2,\frac{1}{2} ((p_1-x_1 )+(p_2-x_2 )) \right ]$
   $\small f(P,Y)=\left [ p_1-y_1,p_2-y_2,\frac{1}{2} ((p_1-y_1 )+(p_2-y_2 )) \right ]$
   platí, že sú rôzne. Teda zobrazenie je bijektívne.
   
   Dôkaz, pre podmienku (AP2) prenechávame čitateľovi.