Vybrané kapitoly z aritmetiky a analytickej geometrie

Cvičenie.
Nech $\small a,b∈ \mathbb Q$ sú dve rôzne racionálne čísla a ich reprezentácie na číselnej osi nech sú body $\small A,B$. Dokážte, že aritmetický priemer $\small (a+b)/2$ je opäť racionálne číslo a jeho obraz na číselnej osi je stred úsečky $\small AB$.

Riešenie. Nech $\small a=m/n,b=r/s$ a zároveň $\small a \leq b$.

1. Pre aritmetický priemer $\small AP(a,b)$ môžu nastať dva prípady:
1. Zlomok $\small \frac{a+b}{2}= \frac{( \frac{m}{n} + \frac{r}{s})}{2} = \frac{m \cdot s+r \cdot n }{2 \cdot n \cdot s}$ je v základnom tvare (nemožno ho krátiť).
• V tomto prípade daný zlomok reprezentuje racionálne číslo určené triedou rozkladu $\small T_{(m \cdot s+r \cdot n,2 \cdot n \cdot s)}$.
2. Zlomok $\small \frac{m \cdot s+r \cdot n }{2 \cdot n \cdot s}$ nie je v základnom tvare. Vtedy existuje nenulové prirodzené číslo $\small k$, ktorým zlomok vykrátime na základný tvar $\small \frac{p}{q}$. Z vlastností o krátení zlomkov totiž musí platiť $\small \frac{a+b}{2} =\frac{m \cdot s+r \cdot n }{2 \cdot n \cdot s}= \frac{p \cdot k }{q \cdot k } = \frac{p}{q}$.
• Z týchto rovností ľahko odvodíme, že daný zlomok reprezentuje racionálne číslo určené triedou rozkladu $\small T_{(p,q)}$.
2. Z predchádzajúceho vyplýva, že zlomok $\small \frac{a+b}{2}$ reprezentuje racionálne číslo, pre ktoré platí $\small a \leq \frac{a+b}{2} \leq b$
3. Ukázať, že obraz aritmetického priemeru bude stred úsečky je jednoduché.
• Stačí si uvedomiť, že pre stred $\small S$ úsečky $\small AB$ platí vzťah $\small |AS|=|SB|$.
4. K úplnosti dôkazu je potrebné ukázať, že platí rovnosť $\small \frac{a+b}{2} = \frac{( \frac{m}{n} + \frac{r}{s})}{2} = \frac{m \cdot s+r \cdot n }{2 \cdot n \cdot s}$
   

Keďže pre aritmetický priemer $\small AP(a,b)$ racionálnych čísel $\small  a \leq b$ platí $\small a \leq AP(a,b) \leq b$, tak platí aj nasledujúce tvrdenie.

Tvrdenie.
Množina racionálnych čísel je husto usporiadaná.