Racionálne čísla - úvod

Súčet a súčin

Relácia ekvivalencie \small R umožnila vytvorenie „nosiča“ pre racionálne čísla. Teraz musíme definovať súčet a súčin racionálnych čísel.
Nech \small T_{(a,b)},T_{(c,d)} sú dve racionálne čísla (dve triedy rozkladu), potom súčet \small \oplus a súčin \small \otimes týchto čísel popisujú nasledujúce dve definície.
Definícia (Sčítanie racionálnych čísel).
\small T_{(a,b)} \oplus T_{(c,d)} =T_{( a \cdot d +c \cdot b ,b \cdot d )}
Definícia (Násobenie racionálnych čísel).
\small T_{(a,b)} \otimes T_{(c,d)} =T_{(a.c),(b \cdot d )}
Zvoľme si podiely \small \frac{2}{3}, \frac{7}{5}, \frac{-1}{2}. Z definície relácie ekvivalencie \small R vyplýva, že tieto podiely sú prvkami istých tried rozkladu \small (Z \times Z^+)/R . Bez ujmy na všeobecnosti môžeme povedať, že platia vzťahy 
     \small T_{(2,3)} ≝ \frac{2}{3} , \small T_{(7,5)} , ≝ \small \frac{7}{5} , \small T_{(-1,2)} ≝ \small \frac{-1}{2}.
Interpretujme súčet (tried)
     \small \frac{2}{3} \oplus \frac{7}{5}=T_{(2,3)} \oplus T_{(7,5)}=T_{(2 \cdot 5 + 7 \cdot 3), 3 \cdot 5}=T_{(31,15)}=\frac{31}{15}
    ...  
Interpretujte súčin tried
     ...  
Poznámky.
  1. Súčet T_{(a,b)} ) \otimes T_{(c,d)} si ľahko zapamätáme pomocou súčtu zlomkov \frac{a}{b}+ \frac{c}{d} = \frac{a \cdot d + c \cdot b }{b \cdot d } .
  2. Vyššie definovaný súčet a súčin celých čísel je korektný. To znamená, že nie je závislý od výberu „reprezentantov“ T_{(a,b)} ), T_{(c,d)} . Korektnosť definície súčtu znamená, že platí nasledujúce tvrdenie.
  3. Ak
(p,q) \in T_{(a,b)}
  1. a zároveň
(r,s) \in T_{(c,d)}
  1. , tak:
    1. T_{(a,b)} \oplus T_{(c,d)} =T_{(p,q)} \oplus T_{(r,s)}
    2. a zároveň
    3. T_{(a,b)}  \otimes T_{(c,d)}=T_{(p,q)} \otimes T_{(r,s)} . 
\( .\)