Racionálne čísla - úvod

Obor racionálnych čísel

Definícia.
Nech Z je množina všetkých celých čísel. Definujme binárnu reláciu \small R na množine \small \mathbb Z \times \mathbb Z^+ takto:
\small (a,b)R(c,d) \Leftrightarrow a \cdot d=c \cdot b .
Dve usporiadané dvojice prirodzených čísel \small \small (a,b),(c,d) sú v relácii, ak platí rovnosť
\small \small a \cdot d=c \cdot b
(súčin prvého člena prvej dvojice s druhým členom druhej dvojice sa rovná súčinu prvého člena druhej dvojice s druhým členom prvej dvojice).
Tvrdenie.
Relácia \small R je reflexívna, symetrická a tranzitívna.
Dôkaz.
  1. Nech \small R je binárna relácia s požadovanou vlastnosťou a nech \small (x,x)∈\mathbb Z \times \mathbb Z^+ je ľubovoľná dvojica tohto karteziánskeho súčinu. Potom zrejme platí \small (x,x)R(x,x) , lebo platí \small x \cdot x=x \cdot x . Odkiaľ dostaneme, že relácia \small R je reflexívna.
  2. Nech ľubovoľné dve usporiadané dvojice sú v relácii \small (a,b)R(c,d) .
    • To je ekvivalentné s rovnosťou: \small a \cdot d=c \cdot b .
    • Rovnosť prirodzených čísel je symetrická, preto tiež platí: \small \small c \cdot b=a\cdot d.
    • To je ekvivalentné so vzťahom (c,d)R(a,b) , preto platí: relácia \small \small R je symetrická.
  3. Nech platí \small \small (a,b)R(c,d) a zároveň \small \small (c,d)R(e,f) .
    • Z definície relácie \small \small R vyplýva, že musí platiť \small \small a \cdot d=c \cdot b a zároveň \small \small c \cdot f=e \cdot d.
    • Po sčítaní týchto rovníc a po vykrátení dostaneme ...
    • Teraz stačí aplikovať ... To znamená, že relácia \small R je tranzitívna.
Definícia (Množina racionálnych čísel).
Nech \small R je relácia ekvivalencie na množine \small \mathbb Z \times \mathbb Z^+ , pre ktorú platí:
\small \forall (a,b),(c,d) \in \mathbb Z \times \mathbb Z^+ : (a,b)R(c,d) \Leftrightarrow a \cdot d=c \cdot b
a nech \small \mathbb Q=((\mathbb Z \times \mathbb Z^+ )/R je rozklad \small \mathbb Z \times \mathbb Z^+ podľa relácie \small R . Potom prvky množiny \small \mathbb Q budeme nazývať racionálne čísla.
\( .\)