Vybrané kapitoly z aritmetiky a analytickej geometrie

Úloha.
Ukážte, že rovnica $\small 6x+3=6$, ktorej koeficienty sú celé čísla nemá v obore celých čísel riešenie.

Riešenie.
Stačí pripočítať k obidvom stranám rovnice číslo -3 a dostaneme rovnicu $\small 6x=3$, ktorej riešením nemôže byť celé číslo.
Zdôvodnenie. Na ľavej strane rovnice $\small 6x=3$ máme párne číslo $\small 2 \cdot (3x)=2 \cdot k$, ale na pravej nepárne číslo $\small 3=2 \cdot 1+1$. To nie je možné!

Poznámky.

Na chvíľu predpokladajme, že existuje číslo, ktoré je riešením danej rovnice $\small 6x=3$. Z predchádzajúcej kapitoly vieme, že také číslo $\small x$ musí byť podiel $\small 3∶6$ celých čísel $\small 3,6$. Teda muselo by platiť:
$\small x=(3∶6)$.
Rovnicu $\small 6x+3=6$ môžeme upraviť na tvar $\small 2x+1=2$. Riešením tejto rovnice je podiel $\small 1∶2$, teda
$\small x= (1∶2)$.
Zároveň vieme, že rovnica $\small 6x+3=6$ má nanajvýš jedno riešenie. Dokážte to!

Zistili sme, že riešením rovnice $6x+3=6$ sú „podiely“ $\small (3∶6), (1∶2)$. Takéto podiely v obore celých čísel neexistujú. Na druhej strane, ak vytvoríme číselný obor, v ktorom rovnica bude mať riešenie, tak musí platiť
$\small (3∶6)=(1∶2)$.
V nasledujúcej časti vytvoríme obor racionálnych čísel, v ktorom naša rovnica $\small 6x+3=6$ bude mať riešenie.

Racionálne čísla môžeme v určitom širšom význame chápať ako všetky možné podiely dvoch celých čísel. Vyšie sme popísali podstatnú skutočnosť. Ak „podiel“ celých čísel $\small (3∶6)$ a zároveň aj podiel $\small (1∶2)$ je hľadaným riešením rovnice $\small 6x+3=6$, potom musí platiť rovnosť
$\small (3∶6)=(1∶2)$,
ktorá je ekvivalentná s rovnosťou
$\small (1.6=2.3)$.
Teda: Rovnosť podielov $\small (3∶6)=(1∶2))$ je ekvivalentná s rovnosťou súčinov $\small (1.6=2.3)$.

Rovnosť podielov dvoch celých čísel sme nahradili rovnosťou, kde sa vyskytuje len súčin celých čísel. Súčin je však neobmedzene definovaná operácia v obore celých čísel, t.j. vieme vynásobiť ľubovoľné dve celé čísla. Z uvedeného vyplýva, že racionálne čísla môžeme zaviesť pomocou dvojíc celých čísel. Budeme postupovať analogicky ako pri zavádzaní oboru celých čísel. Najskôr popíšeme reláciu ekvivalencie na množine karteziánskeho súčinu množiny celých čísel.

Relácia $\small R$.
Dvojice celých čísel $\small (a,b),(c,d)$ budú v relácii $\small R$ (budú predstavovať to isté racionálne číslo), ak bude platiť rovnosť
$\small a \cdot d=c \cdot b$.