Obor celých čísle

Súčet a súčin

Relácia ekvivalencie \small R umožnila vytvorenie „nosiča“ pre celé čísla. Teraz musíme definovať súčet a súčin celých čísel.
Definícia - súčet celých čísel.
Nech \small T_{(a,b)},T_{(c,d)} sú dve celé čísla (dve triedy rozkladu), potom ich súčtom \small T_{(a,b)} \oplus T_{(c,d)} bude trieda \small T_{(a+c,b+d)}. Teda súčet tried je určený vzťahom
(S) \small T_{(a+c,b+d)} ≝ T_{(a,b)} \oplus T_{(c,d)}
Súčin dvoch tried budeme definovať nasledovne:
Definícia - súčin celých čísel.
Nech \small T_{(a,b)},T_{(c,d)} sú dve celé čísla (dve triedy rozkladu), potom ich súčinom \small T_{(a,b)} \otimes T_{(c,d)} bude trieda \small T_{(a+c,b+d)}. Teda súčet tried je určený vzťahom
(N) \small \( T_{(a,b)} \otimes T_{(c,d)} =T_{(a.c+b.d),(a.d+b.c)}
Interpretácia definícií.
Zvoľme si celé čísla \small 2,-2,3,-3 . Z definície množiny celých čísel vyplýva, že tieto čísla sú triedy rozkladu \small (\mathbb N \times \mathbb N)/R . Bez ujmy na všeobecnosti môžeme povedať, že sú to triedy
\small T_{(2,0)} ≝ 2; \small T_{(3,0)} ≝ 3
\small T_{(0,2)} ≝-2; \small T_{(0,3)} ≝ -3
Interpretujme súčet tried
\small 2 \oplus 3=T_{(2,0)} \oplus T_{(3,0)}=T_{(2+3,0+0)}=T_{(5,0)}=5
\small 3 \oplus -2=T_{(3,0)} \oplus T_{(0,2)}=T_{(3,2)}=T_{(1,0)}=1  
Interpretujte súčin tried
\small 2 \otimes 3=T_{(2,0)} \oplus T_{(3,0)}=T_{(2⋅3+0⋅0),(2⋅0+0⋅3)}=T_{(6,0)}=6
Spočítajte ďalšie možné súčty a súčiny.
Poznámky.
  1. Súčin \small T_{(a,b)} ) \otimes T_{(c,d)} si ľahko zapamätáme pomocou súčinu dvojčlenov \small (a-b)(c-d)=(a.c+b.d)-(a.d+b.c) .
  2. Vyššie definovaný súčet a súčin celých čísel je korektný. To znamená, že nie je závislý od výberu „reprezentantov“ \small T_{(a,b)} ), T_{(c,d)} . Korektnosť definície súčtu znamená, že platí nasledujúce tvrdenie.
Tvrdenie- korektnosť súčtu a súčinu. Ak \small (p,q) \in T_{(a,b)} a zároveň \small (r,s) \in T_{(c,d)} , tak
  1. \small T_{(a,b)} \oplus T_{(c,d)} =T_{(p,q)} \oplus T_{(r,s)} .
  2. Analogicky pre súčin platí
  3. \small T_{(a,b)} \otimes T_{(c,d)}=T_{(p,q)} \otimes T_{(r,s)} .
Dokážte predchádzajúce tvrdenia v rámci seminárnych cvičení.Na základe predchádzajúcich úvah môžeme množinu celých čísel symbolicky zapísať ako 
\small \mathbb Z= \lbrace{...,-3,-2,-1,0,1,2,3,…}\rbrace alebo \small \mathbb Z= \lbrace{0,±1,±2,±3,...}\rbrace .
\( .\)