Vybrané kapitoly z aritmetiky a analytickej geometrie

Úvahy o triedach rozkladu $\small \mathbb N \times \mathbb N/R$ umožňujú zaviesť množinu celých čísel ako množinu tried tohto rozkladu.

Zhrňme si naše úvahy:

1. Za základnú (východiskovú) množinu zvolíme množinu prirodzených čísel $\small \mathbb N$, ktorú popíšme napríklad Peanovou aritmetikou.
2. Vytvoríme množinu všetkých usporiadaných dvojíc $\small (x,y)$ prirodzených čísel pomocou karteziánskeho súčinu $\small \mathbb N \times \mathbb N$.
3. Dvojice prirodzených čísel zatriedime do skupín tak, že pre ľubovoľné dve dvojice $\small (a,b),(c,d)$ z rovnakej skupiny platí rovnosť $\small a+d=c+b$.
4. Uvedieme definíciu množiny celých čísel, ktorá vychádza z týchto úvah.

Definícia.
Nech $\small R$ je relácia ekvivalencie na množine $\small \mathbb N \times \mathbb N$, pre ktorú platí:
$\small \forall a,b,c,d \in \mathbb N: (a,b)R(c,d) \Leftrightarrow a+d=c+b$
a nech $Z=(\small \mathbb N \times \mathbb N)/R$ je rozklad množiny $\small \mathbb N \times \mathbb N$ podľa relácie $\small R$. Potom prvky množiny $\small Z$ budeme nazývať celé čísla.

Poznámky.

Nech $\small (a,b) \in \small \mathbb N \times \mathbb N$, potom v prípade:

1. Ak $\small  a≥b$, tak triedu rozkladu $\small T_{(a,b)}$ budeme označovať symbolom $\small n$, kde $\small n=a-b$ je prirodzené číslo. Zrejme platí
   $\small T_{(a,b)}=T_{(a-b,0)}≝ n$.
   Tieto čísla budeme nazývať nezáporné celé čísla a množinu všetkých nezáporných čísel symbolom $\small Z^+$.
2. Ak $\small  a < b$, tak triedu rozkladu $\small T_{(a,b)}$ budeme označovať symbolom $\small -n$, kde $\small n=b-a$ je prirodzené číslo, zrejme platí
   $\small T_{(a,b)}=T_{(0,b-a)}≝ -n$.
   Tieto čísla budeme nazývať záporné celé čísla a množinu všetkých záporných čísel symbolom $\small Z^-$.