Vybrané kapitoly z aritmetiky a analytickej geometrie

Tvrdenie.
Nech $\small R$ je reláciou ekvivalencie na množine $\small \mathbb N \times \mathbb N$. Potom existuje rozklad množiny $\small \mathbb N \times \mathbb N$ podľa relácie $\small R$.

Dôkaz.
Vyplýva z toho, že relácia $\small R$ je reláciou ekvivalencie na množine $\small \mathbb N \times \mathbb N$. Trieda rozkladu, do ktorej patrí usporiadaná dvojica $\small (a,b)$ je množina, ktorá môže byť symbolicky zapísaná ako Pre triedy rozkladu platí:

1. Ak dve triedy $\small T_{(a,b)}, T_{(c,d)}$ majú spoločný prvok $\small (x,y)$, tak zrejme
   $\small (x, y) \in T_{(a,b)} \cap T_{(c,d)} \Rightarrow \begin{cases} a+y = x+b \\ c+y = x+d \\ \end{cases}$.
   Po krížovom sčítaní týchto dvoch rovníc, tak dostaneme $\small a + d = c+b  \Rightarrow T_{(a,b)}= T_{(c,d)}$.
2. K ukončeniu dôkazu potrebujeme ukázať, že $(\small \mathbb N \times \mathbb N )/ R$ je naozaj rozklad. To znamená, že pre ľubovoľnú dvojicu $\small (x,y) \in \mathbb N \times \mathbb N$ existuje trieda $\small T_{(a,b)}$ rozkladu, do ktorej patrí dvojica $\small (x,y)$. Dôkaz tejto časti prenechávame študentovi učiteľstva matematiky. 

Ukážka - rozšírenie oboru prirodzených čísel.

Nech $\small N= \lbrace{0,1,2,...,...}\rbrace$ je množina všetkých prirodzených čísel. Potom rozklad $\small N×N∕R$ je množina, ktorej prvky-triedy sú podmnožiny karteziánskeho súčinu. Každá trieda obsahuje len prvky, ktoré sú usporiadanými dvojicami prirodzených čísel!

1. Označme symbolom $\small T_{(1,0)}$ triedu, ktorá obsahuje dvojicu $\small (1,0) \in N \times N$. Potom trieda $\small T_{(1,0)}$ bude obsahovať aj všetky usporiadané dvojice typu $\small (n+1,n)$, lebo platí $\small (1,0)R(n+1,n)⟺1+n=(n+1)+0$. Triedu $\small T_{(1,0)}$ môžeme určiť vymenovaním jej prvkov: $\small (1,0),(2,1),(3,2),…,(n+1,n),…$
2. Podobne by sme ukázali, že trieda $\small T_{(0,1)}$, ktorá obsahuje dvojicu $\small (0,1)$ bude obsahovať aj všetky usporiadané dvojice typu $\small (n,n+1)$. Symbolicky
             $\small T_{(0,1)}= \lbrace{(0,1),(1,2),...,(7,8),...(n,n+1),...}\rbrace$.
3. Označenie pre triedy rozkladov $\small T_{(1,0)}, T_{(0,1)}$ môžeme nahradiť aj inými symbolmi. V literatúre sa objavujú symboly $\small \overline{\lbrace{1,0}\rbrace},\overline{\lbrace{0,1}\rbrace}$, $\small \text card \lbrace{1,0\rbrace} ,\; \text card \lbrace{0,1\rbrace}$.
   My použijeme jednoduchšie symboly $\small 1, \; -1$, čo sú vlastne arabské číslice pre označenie celých čísel.
4. Vo všeobecnosti trieda rozkladu, do ktorej patrí usporiadaná dvojica $\small (a,b)$ je množina, ktorá môže byť symbolicky zapísaná ako
             $\small T_{(a,b)}= \lbrace{(x,y) \in N \times N: a+y=x+b}\rbrace$.
5. Všimnite si, že triedy rozkladu, ktoré prináležia usporiadanej dvojici $\small (a,b)$, kde $a≥b$, budú reprezentované prirodzenými číslami. 
6. V prípade, že $\small a$ dostneme triedy rozkladu, ktoré budú reprezentované zápornými číslami.