Vybrané kapitoly z aritmetiky a analytickej geometrie

Definícia. 
Nech $N$ je množina všetkých prirodzených čísel. Definujme binárnu reláciu $R$ na množine $N \times N$ takto:
$(a,b)R(c,d)⟺a+d=c+b$.

Dve usporiadané dvojice prirodzených čísel $(a,b),(c,d)$ sú v relácii, ak platí rovnosť
$a+d=c+b$
(súčet prvého člena prvej dvojice s druhým členom druhej dvojice sa rovná súčtu prvého člena druhej dvojice s druhým členom prvej dvojice).

Veta.
Relácia $R$ je reflexívna, symetrická a tranzitívna.

1. Nech $R$ je binárna relácia s požadovanou vlastnosťou a nech $(x,x)∈N×N$ je ľubovoľná dvojica prirodzených čísel. Potom zrejme platí $(x,x)R(x,x)$, lebo platí $x+x=x+x$. Odkiaľ dostaneme, že relácia $R$ je reflexívna.
2. Nech ľubovoľné dve usporiadané dvojice sú v relácii $(a,b)R(c,d)$. 
• Tento vzťah je ekvivalentný s rovnosťou: $a+d=c+b$. 
• Rovnosť prirodzených čísel je symetrická, preto tiež platí: $c+b= a+d$. 
• To je ekvivalentné so vzťahom $(c,d)R(a,b)$, preto platí: relácia $R$ je symetrická. 
3. Nech platí $(a,b)R(c,d)$ a zároveň $(c,d)R(e,f)$. 
• Z definície relácie $R$ vyplýva, že musí platiť $a+d=c+b$ a zároveň $c+f=d+e$. Pripočítajme k prvej rovnosti číslo $f$ a k druhej rovnosti číslo $b$. 
• Dostaneme rovnosti $a+d+f=c+b+f, c+f+b=d+e+b$. Zrejme platí $c+b+f=c+f+b$ (komutatívnosť sčítania). 
• Ak využijeme, že rovnosť prirodzených čísel je tranzitívna, tak dostaneme $a+d+f=d+e+b$. 
• Teraz stačí aplikovať komutatívnosť a vetu o krátení a dostaneme $(a,b)R(e,f)$. To znamená, že relácia $R$ je tranzitívna.