Vybrané kapitoly z aritmetiky a analytickej geometrie

Celé čísla môžeme v širšom význame chápať ako všetky možné rozdiely dvoch prirodzených čísel. Problém je však v tom, že niektoré rozdiely neexistujú v obore prirodzených čísel.

Napríklad ako sme už poukázali rozdiel $(2-5)$, ktorý by mal byť riešením našej rovnice neexistuje v množine prirodzených čísel. Na druhej strane, zrejme aj rozdiel $(0-3)$ je riešením našej rovnice.
Všimnime si jednu podstatnú skutočnosť. Ak rozdiel prirodzených čísel $(2-5)$ a zároveň aj rozdiel $(0-3)$ je hľadaným riešením rovnice, tak musí platiť rovnosť
$(2-5)=(0-3)$.
Po jednoduchej úprave (postupné pričítanie čísla $5$ a čísla $3$ k obidvom stranám rovnosti) dostaneme rovnosť
(2+3=0+5\).

To znamená, že dva rozdiely prirodzených čísel $(2-5)$ a $(0-3)$ budú predstavovať to isté záporné číslo $(-3)$ práve vtedy, ak platí rovnosť $2+3=0+5$.

Platnosť poslednej rovnosti vieme bez problémov overiť, pretože sčitovať prirodzené čísla sme sa naučili v prvej kapitole. Z uvedeného vyplýva, že celé čísla môžeme zaviesť pomocou dvojíc prirodzených čísel.

Dve dvojice prirodzených čísel $(a,b),(c,d)$ budú predstavovať to isté celé číslo, ak bude platiť rovnosť $a+d=c+b$.