Vybrané kapitoly z aritmetiky a analytickej geometrie

Rovnica $x+5=2$, ktorej koeficienty sú prirodzené čísla nemá v obore prirodzených čísel riešenie.

Naše vedomosti z elementárnej matematiky nám napovedajú, že riešenie existuje v inom číselnom obore, v obore celých čísel. Jednoducho, ak budeme aplikovať jednu z ekvivalentných úprav „odčítanie“ čísla 5 k obidvom stranám rovnice, tak dostaneme
$(x+5)-5=2-5$
a po úprave na ľavej strane rovnice dostaneme $x$. Ale na pravej strane rovnice dostaneme rozdiel $2-5$, ktorý nepredstavuje prirodzené číslo resp. nevieme od čísla 2 odčítať číslo 5 v obore prirodzených čísel.
Zrejme chceme, aby naším výsledkom bolo "číslo" $-3$. Dostať takéto riešenie znamená vytvoriť nový číselný obor - celé čísla. Nami navrhnuté riešenie riešenie skrýva v sebe základnú myšlienku pre zavedenie celých čísel – metódu odčítania. V tomto prípade riešenie predstavuje usporiadanú dvojica prirodzených čísel (2,5).

Definícia (Rozdiel prirodzených čísel).
Nech $m,n \in \small \mathbb N$ sú prirodzené čísla. Ak existuje jediné prirodzené číslo $r \in \small  \mathbb N$, pre ktoré je splnená rovnosť $m+r=n$, tak toto číslo nazveme rozdielom čísel $n,m$ v tomto poradí a budeme ho označovať symbolom $n-m$.

Zrejme pre čísla 2, 5 neexistuje rozdiel $r=2-5$ v obore prirodzených čísel. Určiť tento rozdiel vlastne znamerná vyriešiť rovnicu $5+r=2$ , čo je naša rovnica z úvodu tejto kapitoly.