Budovanie číselných oborov
Požiadavky na absolvovanie
Historický vývoj aritmetiky
1. Pravek
Prvé predstavy o čísle pochádzajú už z dávneho obdobia staršej doby kamennej, paleolitu. Sú nerozlučne spojené s obdobím, keď na začiatku štvrtohôr začína človek získavať pomocou nástrojov prostriedky k obžive.
Archeologické vykopávky potvrdzujú, že človek vytvoril prvé aritmetické pojmy už v dobe kamennej. Za prvý dôkaz, že človek už vedel počítať sa považujú vrubovky.
Archeologické vykopávky potvrdzujú, že človek vytvoril prvé aritmetické pojmy už v dobe kamennej. Za prvý dôkaz, že človek už vedel počítať sa považujú vrubovky.
2. Egypt a Babylon
Egypťania a Babylončania (2000 – 500 pred n. l.) používali všetky základné aritmetické operácie už v roku 2000 pred Kristom. Hieroglyfický systém pre egyptské číslice vychádzal zo sčítacích značiek používaných na počítanie. Tento pôvod viedol k hodnotám, ktoré používali desatinný základ, ale nezahŕňali pozičný zápis. Babylončania používali šesťdesiatkový systém.
Babylončania a Egypťania poznali základné vlastnosti operácií s prirodzenými číslami, ako je komutatívnosť, asociatívnosť a distributívnosť. Tiež skúmali niektoré vlastnosti súvisiace s deliteľnosťou v obore prirodzených čísel. Nepoznali pojem prvočísla, nebol im známy explicitne. Ich poznatky boli zamerané skôr na praktické výpočty a zlomky.
3. Grécko
Nepretržitý vývoj modernej aritmetiky nastal s érou Gréckej civilizácie. Euklides zhromaždil všetky znalosti tej doby z matematiky a napísal knihu Základy. Jeho práca obsahuje nielen geometriu, ale sú tu zhrnuté všetky výsledky bádania v oblasti matematiky.
Na vznik matematických pojmov a operácií s nimi, pôsobili praktické podnety (obchod, peňažníctvo, zememeračstvo, moreplavby, astronómia...). Starovekým Grékom až do helenistického obdobia chýbal symbol pre nulu a ako číslice používali tri samostatné sady symbolov: jednu pre jednotky, jednu pre desiatky a jednu pre stovky. Pre tisícky by znovu použili symboly pre umiestnenie jednotiek atď. Algoritmus pre sčítanie, odčítanie a delenie bol rovnaký ako dnešný, len algoritmus násobenia sa mierne líšil.
Euclid definoval prvočísla ako čísla deliteľné iba jednotkou a samým sebou. Sformuloval vetu o nekonečnosti prvočísel, ktorú aj dokázal. Uviedol algoritmus na hľadanie najväčšieho spoločného deliteľa (Euklidov algoritmus), čo je základom pre neskoršie pochopenie rozkladu čísel.
Diófantos z Alexandrie (3. storočie n. l.) vo svojom diele Arithmetica sa zaoberal číselnými rovnicami, čím prispel k štúdiu aritmetiky. Diófantos bol známy ako „otec algebry“ a jeho dielo Arithmetica obsahovalo mnoho problémov týkajúcich sa rovníc s celočíselnými koeficientami, ktoré súvisia s deliteľnosťou a aritmetikou. Tieto rovnice dodnes nesú jeho meno - diofantické rovnice. Pozrite si prácu [PAS a kol., 2010] kapitolu 3. Lineárne Diofantické rovnice.
Euclid definoval prvočísla ako čísla deliteľné iba jednotkou a samým sebou. Sformuloval vetu o nekonečnosti prvočísel, ktorú aj dokázal. Uviedol algoritmus na hľadanie najväčšieho spoločného deliteľa (Euklidov algoritmus), čo je základom pre neskoršie pochopenie rozkladu čísel.
Diófantos z Alexandrie (3. storočie n. l.) vo svojom diele Arithmetica sa zaoberal číselnými rovnicami, čím prispel k štúdiu aritmetiky. Diófantos bol známy ako „otec algebry“ a jeho dielo Arithmetica obsahovalo mnoho problémov týkajúcich sa rovníc s celočíselnými koeficientami, ktoré súvisia s deliteľnosťou a aritmetikou. Tieto rovnice dodnes nesú jeho meno - diofantické rovnice. Pozrite si prácu [PAS a kol., 2010] kapitolu 3. Lineárne Diofantické rovnice.
4. Rím
Komplexné výpočty s rímskymi číslicami si na získanie výsledkov vyžadovali pomoc počítacej dosky (alebo rímskeho počítadla). Skoré číselné systémy, ktoré obsahovali pozičný zápis, neboli desiatkové, vrátane šesťdesiatkového (základ 60) systému pre babylonské číslice a vigezimálneho (základ 20) systému, ktorý definoval mayské číslice. Vďaka tomuto konceptu hodnoty miesta prispela možnosť opätovného použitia rovnakých číslic pre rôzne hodnoty k jednoduchším a efektívnejším metódam výpočtu.
5. Staroveká Čína
Starovekí Číňania mali pokročilé aritmetické štúdie od základných čísel po pokročilú algebru, ktoré sa datujú od dynastie Shang. Používali pozičnú sústavu podobnú gréckej. Taktiež nepoznali symbol pre nulu. Ich symboly boli založené na starovekých prútoch. Boli prví, ktorí pochopili a začali používať záporné čísla.
6. Stredoveké a islamské obdobie (3. – 14. storočie)
V stredoveku bola aritmetika zaradená medzi sedem slobodných umení. Na základe praktického používania aritmetiky, mali význam približné výpočty iracionálnych čísel, ktoré boli nevyhnutné pre geometrické konštrukcie.
Aritmetika sa vyvíjala v Indii a krajinách islamu, odkiaľ najnovšie úspechy tej doby v oblasti matematického myslenia prenikli do západnej Európy. Vyvinuli pozičný číselný zápis a zaviedli symbol pre nulu. V siedmom storočí zaviedol matematik Brahmaputra používanie nuly ako samostatného čísla a určil výsledky pre všetky operácie s nulou okrem výsledku delenia nulou. Al-Chvárizmí (9. storočie) publikoval práce o algebraických algoritmoch (odkiaľ pochádza slovo "algoritmus") rozšírili aritmetiku.
Bolo zavedených 9 arabských číslic, ktoré práve Leonardo Pisánsky rozšíril do celej Európy prostredníctvom svojej knihy Liber Abaci v roku 1202. Napísal: "metóda Indov prevyšuje akúkoľvek známu metódu výpočtov. Je to úžasná metóda, pomocou ktorej sú robené výpočty pomocou deviatich číslic a symbolu nula."
Leonardo Pisánsky 
ukážka z knihy Liber Abaci
\)
Aritmetika sa vyvíjala v Indii a krajinách islamu, odkiaľ najnovšie úspechy tej doby v oblasti matematického myslenia prenikli do západnej Európy. Vyvinuli pozičný číselný zápis a zaviedli symbol pre nulu. V siedmom storočí zaviedol matematik Brahmaputra používanie nuly ako samostatného čísla a určil výsledky pre všetky operácie s nulou okrem výsledku delenia nulou. Al-Chvárizmí (9. storočie) publikoval práce o algebraických algoritmoch (odkiaľ pochádza slovo "algoritmus") rozšírili aritmetiku.
Bolo zavedených 9 arabských číslic, ktoré práve Leonardo Pisánsky rozšíril do celej Európy prostredníctvom svojej knihy Liber Abaci v roku 1202. Napísal: "metóda Indov prevyšuje akúkoľvek známu metódu výpočtov. Je to úžasná metóda, pomocou ktorej sú robené výpočty pomocou deviatich číslic a symbolu nula."
Leonardo Pisánsky Rozkvet algebry v stredovekom islamskom svete a tiež v renesančnej Európe bol výsledkom obrovského zjednodušenia výpočtov prostredníctvom desatinného zápisu.
V stredoveku v Európe rozvoj matematiky stagnoval, no arabskí a indickí matematici (napr. Al-Chvárizmí, 9. storočie) rozvíjali číselnú symboliku a algoritmy.
V stredoveku v Európe rozvoj matematiky stagnoval, no arabskí a indickí matematici (napr. Al-Chvárizmí, 9. storočie) rozvíjali číselnú symboliku a algoritmy.
7. Renesancia, novovek a moderná doba
Na začiatku 17. storočia vynašiel John Napier logaritmy a Fermat potom oddelil teóriu čísel do nezávislej vetvy aritmetiky. Pre numerické výpočty boli vynájdené a široko používané rôzne typy nástrojov - mechanické kalkulačky.
V období renesancie Pierre de Fermat (1607 – 1665) uvádza poznámky na okrajoch svojich matematických kníh k teórii čísel. Dokázal základné vety o deliteľnosti, ktoré neskôr viedli k formalizácii rozkladu čísel.
Leonhard Euler (1707 – 1783) systematizoval Fermatove objavy a položil základy modernej teórie čísel. Sformuloval základnú vetu aritmetiky a skúmal, ako vlastnosti prvočísel ovplyvňujú rôzne štruktúry.
Carl Friedrich Gauss (1777 – 1855) v knihe Disquisitiones Arithmeticae (1801) dôkladne dokázal základnú vetu aritmetiky. Základná veta aritmetiky ostáva kľúčovou súčasťou teórie čísel. Uplatňuje sa nielen v kryptografii, ale aj vo vývoji počítačových algoritmov a aplikáciách, ktoré podporujú moderné technológie. sformuloval základnú vetu aritmetiky a skúmal, ako vlastnosti prvočísel ovplyvňujú rôzne štruktúry.
Gauss zaviedol pojem jednoznačného rozkladu na prvočísla ako základný princíp aritmetiky. Jeho práce mali zásadný vplyv na ďalší vývoj algebraickej a aritmetickej teórie.
K axiometrickému vybudovaniu aritmetiky dochádza až v 19. storočí. Na Bolzanovom pojme množín, vybudoval Georg Cantor teóriu kardinálnych a ordinálnych čísel. Na začiatku 20. storočia Ernst Zermelo publikoval axiomatiku teórie množín, ktorá sa stala okrem iného aj základom pri výstavbe aritmetiky. Giuseppe Peano (1858 –1932) zaviedol obor prirodzených čísel pomocou axióm, ktoré na jeho počesť nazývame Peanove axiómy resp. Peanova aritmetika.
V období renesancie Pierre de Fermat (1607 – 1665) uvádza poznámky na okrajoch svojich matematických kníh k teórii čísel. Dokázal základné vety o deliteľnosti, ktoré neskôr viedli k formalizácii rozkladu čísel.
Leonhard Euler (1707 – 1783) systematizoval Fermatove objavy a položil základy modernej teórie čísel. Sformuloval základnú vetu aritmetiky a skúmal, ako vlastnosti prvočísel ovplyvňujú rôzne štruktúry.
Carl Friedrich Gauss (1777 – 1855) v knihe Disquisitiones Arithmeticae (1801) dôkladne dokázal základnú vetu aritmetiky. Základná veta aritmetiky ostáva kľúčovou súčasťou teórie čísel. Uplatňuje sa nielen v kryptografii, ale aj vo vývoji počítačových algoritmov a aplikáciách, ktoré podporujú moderné technológie. sformuloval základnú vetu aritmetiky a skúmal, ako vlastnosti prvočísel ovplyvňujú rôzne štruktúry.
Gauss zaviedol pojem jednoznačného rozkladu na prvočísla ako základný princíp aritmetiky. Jeho práce mali zásadný vplyv na ďalší vývoj algebraickej a aritmetickej teórie.
K axiometrickému vybudovaniu aritmetiky dochádza až v 19. storočí. Na Bolzanovom pojme množín, vybudoval Georg Cantor teóriu kardinálnych a ordinálnych čísel. Na začiatku 20. storočia Ernst Zermelo publikoval axiomatiku teórie množín, ktorá sa stala okrem iného aj základom pri výstavbe aritmetiky. Giuseppe Peano (1858 –1932) zaviedol obor prirodzených čísel pomocou axióm, ktoré na jeho počesť nazývame Peanove axiómy resp. Peanova aritmetika.
\)