Vybrané kapitoly z aritmetiky a analytickej geometrie

Posunutie $\tau _u$ v rovine $\small \mathbb{E_2}$ je jednoznačne určené vektorom posunutia $\vec{u} =(u_1,u_2)$.

Z planimetrie vieme, že posunutie $\tau _u$ zachováva rovnobežnosť. Keďže posunutie je zhodnostné zobrazenie, tak zachováva aj dĺžku úsečky. Z vlastností rovnobežníka $\small AB \tau_u(B) \tau_u(A)$ vieme, že jeho protiľahlé strany sú zhodné a navzájom rovnobežné. Teda platí Preto môžeme vysloviť nasledujúcu vetu.

Tvrdenie (Obraz bodu v posunutí).
Pre obrazy $\vec e'_1, \vec e'_2$ súradných vektorov $\vec e_1=(1,0), \vec e_2=(0,1)$ v ľubovoľnom posunutí platí
(TAU) $\vec e'_1= \tau _u(\vec e_1)=\vec e_1$ a $\vec e'_2= \tau _u(\vec e_2)=\vec e_2$.

Dôkaz.
Otvorte si dynamický applet Tu, v ktorom môžete premiestňovať vektor $\vec u$ a meniť polohu koncového bodu $\small V$ vektora $\vec u =\small \overrightarrow{UV}$.
Z vlastností rovnobežníka ($\small  OE_1E'_1O'; OO' \parallel E_1E'_1\parallel \vec u$) vyplýva, že $\vec {e_1}=\vec {e'_1}, \dots$.

Posunutie v rovine $\small \mathbb{E_2}$ je afinné zobrazenie určené vektorom posunutia $\small \vec u = \overrightarrow{OO'}$, kde $\small O'=[p,q], \vec u =(p,q)$. Posunutie je analyticky určené rovnicou
$\small X' = X+ \vec u$ (1)

Rovnica (1) predstavuje transformačné rovnice
$x'=x+0y+p \\ y'=0x+y+q$.
V maticovom tvare
$\small \left(\begin{array}{ccc} x'\\ y' \end{array} \right)=\left(\begin{array}{ccc} 1&0 \\ 0&1 \end{array}\right)\times \left(\begin{array}{ccc}x \\ y \end{array}\right) + \left(\begin{array}{ccc}p \\ q \end{array}\right)$.

Posunutie v rovine je afinné zobrazenie. Dokážte to.

Príklad.
V rovine $\small \mathbb{E_2}$ je posunutie určené vektorom $\small \vec u = (1, 2)$. Určite jeho transformačné rovnice.

Riešenie.
Poznáme obraz počiatku súradnej sústavy: $\small O' = [1,2]$ a dosadením do vzťahu (1) dostaneme rovnice
$\small x'=x+1 \\ \small y'=y+2$.

Úloha.
Vytvorte applet v GeoGebre, ktorý bude generovať transformačné rovnice pre posunutie v rovine.