Vybrané kapitoly z aritmetiky a analytickej geometrie

Afinné zobrazenie $\small f$ determinuje ďalšie zobrazenie $\small f^*$ medzi vektorovými zložkami príslušných euklidovských vektorových priestorov.

Definícia (Asociované zobrazenie).
Nech $\small f : \mathbb E_n \rightarrow \mathbb E_m$ je afinné zobrazenie. Zobrazenie $\small f^*$ nazývame asociovaným zobrazením k afinnému zobrazeniu $\small f$, ak spĺňa nasledujúce podmienky:

1. $\small f^*:\mathrm V_n \rightarrow \mathrm V_m$
2. $\small \forall A_0 , \cdot \cdot \cdot A_k \in \mathbb E_n$ a $\small α_0,\cdot \cdot \cdot , α_k \in \mathbb R$ také, že $\small \left(\sum_{i=0}^{k}{α_i}\right)=1$, platí
   $f^*\left( \sum_{i=0}^{k}{α_i A_i}\right) = \sum_{i=0}^{k}{α_i f(A_i)}$ .

Otvorte si applet Tu.

Predchádzajúca definícia vlastne hovorí, že asociované zobrazenie „zachováva” lineárne kombinácie bodov.

Veta (Korektnosť definície asociovaného zobrazenia).
Zobrazenie $\small f^*$ je jednoznačné určené a je dobre definované. Ekvivalentný matematický zápis: nech
$\small α_0A_0 + \cdot \cdot \cdot + α_kA_k = β_0B_0 + · · · + β_kB_k$
pre nejaké $\small α_0 + · · · + α_k = β_0 + \cdot \cdot \cdot + β_k = 0$. Potom existuje práve jedno asociované zobrazenie $\small f^*:\mathrm V_n \rightarrow \mathrm V_m$ také, že
$\small f^*(α_0A_0 + \cdot \cdot \cdot + α_kA_k) = f∗(β_0B_0 + \cdot \cdot \cdot + β_kB_k)$ .

Dôkaz - korektnosť definície asociovaného zobrazenia.
Existencia a jednoznačnosť asociovaného zobrazenia je daná obrazmi vektorov Vn.
Čo sa týka dobrej definovanosti zápisu v definicii asociovaného zobrazenia, z predpokladu vety vyplýva, že $\small α_0 + · · · + α_k = β_0 + · · · + β_k = 0 = M − O$ pre nejaké $\small M \in \mathbb E_n$. Teda
$\small M = O + α_0A0 + \cdot \cdot \cdot + α_kA_k = O +α_0B0 + \cdot \cdot \cdot + α_kB_k=M-O$.
Keďže zobrazenie $\small f$ je afinné, a teda zachováva lineárne kombinácie bodov, tak
$\small f(M) = f(O) + α_0f(A_0) + · · · + α_kf(A_k) = M' + α_0B_0 + · · · + α_kB_k$. Prezrite si applet z definície

Lineárne nezávislá množina bodov.
Nech $\small A_0, . . . , A_k \in \mathbb E_n, k \leq n$ je množina bodov euklidovského priestoru. Je celkom prirodzené zaviesť pojem lineárne nezávislých bodov, ako množinu lineárne nezávislých vektorov $\small A_1-A_0, . . . , A_k-A_0$.

Poznámka.
Z predchádzajúcej definície je zrejmé, že v euklidovskom $n$ rozmernom priestore existuje najviac $n + 1$ lineárne nezávislých bodov. Naviac tento počet sa dá dosiahnuť.

V kapitole "Lineárna kombinácia bodov" sme dokázali vetu

Ľubovoľný bod $\small X \in \mathcal{A}$ sa dá jednoznačne vyjadriť v tvare
$\small X=x_oO + x_1E_1 + · · · + x_nE_n$,
kde $\small x_o + x_1 + · · · + x_n = 1$.

Na základe tohto tvrdenia a definície nezávislých bodov, môžeme povedať, že ľubovoľný bod euklidovského priestoru $\small \mathcal{E}_n$ sa dá jednoznačne vyjadriť ako ich lineárna kombinácia.
Poznámka o lineárnych zobrazeniach.
Z lineárnej algebry poznáme tvrdenie, že každé lineárne zobrazenie $\small \phi:\mathrm V_n \rightarrow \mathrm V_m$ je jednoznačne dané obrazmi prvkov nejakej bázy priestoru $\small \mathrm V_n$.

Dôsledok obraz repéra.
Nech $\small \left\langle O, \pmb {e_1}, . . . ,\pmb {e_n} \right\rangle$ je repér priestoru $\small \mathbb E_n$ a ľubovoľný bod $\small B \in \mathbb E_n$. Ďalej nech $\small \lbrace{\pmb {b_1}, . . . ,\pmb {b_n} }\rbrace$ sú vektory vektorového priestoru $\small \mathrm V_m$. Potom existuje jediné afinné zobrazenie $\small f : \mathbb E_n \rightarrow \mathbb E_m$ také, že
$\small f(O)=B$ a $\small f^*(\pmb {e_i})=\pmb {b_i}$ pre $\small i=1, · · · , n$.

Dôkaz nájdete v učebniciach z lineárnej algebry.

Veta (Jednoznačnosť afinného zobrazenia).
Nech $\small f : \mathbb E_n \rightarrow \mathbb E_m$ je afinné zobrazenie. Potom $\small f$ je jednoznačne určené obrazmi $\small n + 1$ lineárne nezávislých bodov z $\small \mathbb E_n$.

Dôkaz.
Nech $\small f(A_0)=B_0, . . . , f(A_n)=B_n$. V súlade s definíciou nezávislých bodov, vektory
$\small \pmb e_1= A_1-A_0, . . . , \pmb e_n=A_n-A_0$
sú lineárne nezávislé. Keďže afinné zobrazenie je zároveň aj lineárne, tak pre obrazy vektorov $\small \pmb e_i$ v asociovanom afinnom zobrazení $\small f^*$ platí
$\small f^*(\pmb e_i)= f^*(A_i-A_0)=f(A_i)-f(A_0)=B_i-B_0$ pre $\small i=1, · · · , n$.
Podľa dôsledku "obraz repéra" je takto jednoznačne definované afinné zobrazenie. Treba len overiť, či takto definované zobrazenia spĺňa podmienku, že $\small f^*(\pmb e_i)=\pmb {b_i}$.
(Urobte to ako cvičenie!)

Príklad.
Dané sú body afinného priestoru $\small \mathcal{A}_4: A[2, 4, 5, 6]; B[−7, 4, 5, 6]; C[6, 11, 3, 7]; D[−3, −10, 9, 4]; E[−3, 11, 3, 7]$. Zistite, či sústava bodov $\small S = \left\{ A, B, C, D, E \right\}$ je afinne (ne)závislá a vypočítajte dimenziu afinného podpriestoru generovaného sústavou $\small S$ (dimenziu obalu $\small S$).

Riešenie.
Množina bodov $\small S$ je afinne nezávislá, ak sústava vektorov
$\small  W=\left\{\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC}, \overrightarrow{AD}, \overrightarrow{AE} \right\}$
je lineárne nezávislá. Pre súradnice týchto vektorov dostaneme
$\small \overrightarrow{AB} = B − A = (−9, 0, 0, 0); \overrightarrow{AC}= (4, 7, −2, 1);\overrightarrow{AD} = (1, −14, 4, −2); \overrightarrow{AE}= (−5, 7, −2, 1)$.
Sústava vektorov W je lineárne nezávislá, ak rovnosť
$\small b \overrightarrow{AB} +c \overrightarrow{AC} +d \overrightarrow{AD}+e \overrightarrow{AE} = \vec 0$
je splnená práve len pre $\small b=c=d=e=0$. V našom prípade to nie je splnené lebo hodnosť matice
$\small M= \left(\begin{matrix} -9 & 0 & 0 & 0 \\ 4 & 7 & -2 & 1 \\ 1 & -14 & 4 & -2 \\ -5 & 7 & -2 & 1 \end{matrix}\right)∼ \left(\begin{matrix} -9 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 7 & -2 & 1 \\ 0 & -14 & 4 & -2 \\ 0 & 7 & -2 & 1 \end{matrix}\right)∼ \left(\begin{matrix} -9 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 7 & -2 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{matrix}\right)$
je dva. Teda hodnosť je menšia ako počet vektorov, preto sústava $\small W$ je lineárne závislá a teda body $\small A, B, C, D, E$ sú afinne závisle. Z poslednej matice vyplýva, že dva vektory $\small \overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC}$ sú lineárne nezávislé a vektory $\small \overrightarrow{AD}, \overrightarrow{AE}$ sú ich lineárne kombinácie. Preto dimenzia podpriestoru $\small \left\langle S \right\rangle$ je rovná dvom. Parametrické vyjadrenie tohto podpriestoru môžeme vyjadriť ako
$\small S=A+ \left\langle \overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC} \right\rangle$.
To znamená, že body $\small A, B, C, D, E$ ležia v rovine $\small (ABC) = S$.

Poznámky.

1. Nech $\small \mathbb E_n$ je $\small n$-rozmerný euklidovský priestor so zameraním $\small V_n(\mathbb R)$ a nech $\small f: \mathbb E_n \rightarrow \mathbb E_n$ je afinná transformácia. Potom môžeme definovať asociované zobrazenie $\small f^*$ afinného zobrazenia $\small f$ aj nasledovne:
   $\small f^*: V_n(\mathbb R) \rightarrow V_n(\mathbb R)$, $\small (X − Y ) \rightarrow f(X − Y ) := f(X) − f(Y )$
2. Asociované zobrazenie $\small f^*$ je vlastne "reštrikcia" zobrazenia $\small f$ na vektorový priestor. Zobrazuje vektory so zamerania $\small V_n(\mathbb R)$ na vektory toho istého zamerania.