Vybrané kapitoly z aritmetiky a analytickej geometrie

Nech je daná $\small (n+1)$ - tica bodov $\small A,A_1,...,A_n$ v euklidovskom priestore $\small \mathbb E_n$ taká, že $\small (n)$ - tica vektorov $\small \vec a_1=A_1-A,...,\vec a_n=A_n-A$ so zamerania $\small V_n(\mathbb R)$ je nezávislá. V tomto prípade sústava $\small \mathcal R = \lbrace A; \vec a_1, \vec a_2, . . . , \vec a_n \rbrace$ tvorí repér tohto priestoru. Takejto $\small (n+1)$ - tici bodov budeme hovoriť, že je lineárne nezávislá.

Vo vete "Jednoznačnosť afinného zobrazenia" sme dokázali, že afinné zobrazenie $\small f : \mathbb E_n \rightarrow \mathbb E_m$ je jednoznačne určené obrazmi $\small n + 1$ lineárne nezávislých bodov euklidovského priestoru $\small \mathbb E_n$.Dôkaz tohto tvrdenia nájdete aj v práci [Chalmoviansky, 2022].
V ďalšej časti sa zameriame na určenie transformačných rovníc afinného zobrazenia v euklidovskej rovine $\small \mathbb E_2$, v ktorom sú dané dve trojice odpovedajúcich nekolineárnych bodov. Začneme trojicami, ktoré vyhovujú rovnoľahlosti, čo nám uľahčí kontrolu správnosti určenia transformačných rovníc.

Cvičenie.
Určte transformačné rovnice afinného zobrazenia $\small f:\mathbb E_2 \rightarrow \mathbb E_2$, v ktorom
$\small A(-1,-2) \rightarrow A'(4,2);\; \;B(\frac{3}{2},-\frac{3}{2}) \rightarrow B'(\frac{11}{4},-\frac{1}{2}),\; \;C(-3,0) \rightarrow C'(2,4)$.

Riešenie.
Riešenie pomocou rozšírených matíc sme popísali v predchádzajúcich kapitolách. Teraz pre úplnosť ukážeme aj riešenie, v ktorom sa budeme opierať o sústavu 6 rovníc o 6 neznámych. Takéto riešenie je však technicky náročnejšie a dosť nepraktické.

Pre bod $\small X$ v rovine $\small \mathbb E_2$ platí, že je lineárnou kombináciou bodov $\small A(-1,-2) ;B(\frac{3}{2},-\frac{3}{2});C(-3,0)$, preto platí
$\small X=a(-1,-2)+b(\frac{3}{2},-\frac{3}{2})+c(-3,0)$, pričom $\small a+b+c=1$.
V kapitole "Afinné zobrazenie" sme ukázali, že transformačné rovnice afinného zobrazenia v euklidovskom priestore $\small \mathbb E_2$ majú tvar
$\small x'=a \cdot x+c \cdot y+p \\ \small y'=b \cdot x+d \cdot y+q$,
kde $\small a,b,c,d,p,q$ sú súradnice obrazov vektorov bázy $\small a,b,c,d$ a súradnice obrazu začiatku repéra $\small p,q$. Dosaďme súradnice bodov $\small A, A'$ do týchto transformačných rovníc. Po úprave dostaneme dve rovnice o 6 neznámych $\small a,b,c,d,p,q$. Konkrétne to budú rovnice
$\small 4 =-1 a-2 c+p \\ \small 2 =-1b-2 d+q.$
Postupne ak dosadíme súradnice ďalších bodov $\small B, B',C,C'$ dostaneme ďalšie 4 rovnice.
$\small \frac{11}{4} =\frac{3}{2}a-\frac{3}{2}c+p$
$\small -\frac{1}{2}=\frac{3}{2}b-\frac{3}{2} d+q$

$\small 2 =-3 a+0 c+p \\ \small 4 =-3b+0 d+q.$
Spolu je to sústava 6 lineárnych rovníc, ktorá vzhľadom na zadanie (nekolineárne body) bude mať práve jedno riešenie. Vypíšte všetkých 6 rovníc a potom vyriešte túto sústavu.

Poznámka.
Nájsť riešenie takejto sústavy je časovo dosť náročná práca, ktorá študentov nemotivuje a navyše ich odpúta od podstaty úlohy– nájsť transformačné rovnice.

Preto s výhodou môžeme použiť nástroje programu GeoGebra (alebo iných softvérov, napr. Matrix). Pomocou nástroja/vzhľadu "Tabuľka" v programe GeoGebra najskôr „vygenerujeme“ maticu sústavy 6 rovníc so 6 neznámymi s pravou stranou. Do jednotlivých polí v „Tabuľke“ vložíme súradnice bodov pomocou príkazov: $\small =x(M), y(M)$, kde $\small M$ je názov bodu, ktorého súradnice vkladáme.
Z tabuľky vidieť, že napr. do poľa „A2“ je vložený príkaz $\small „=x(A)“$, ktorý predstavuje prvú súradnicu bodu $\small A$. Tabuľka má ďalšiu veľkú výhodu: Vstupné pole „A2“ je aktívne voči zmene polohy bodu $\small A$. Ak sa poloha bodu $\small A$ zmení, tak sa automaticky zmení aj príslušné polia tabuľky $\small „=x(A)“, "=y(A)“$. Analogicky sa aktualizujú aj zvyšné polia tabuľky. Dynamické vstupy nám teda umožnia aktualizovať maticu sústavy 6 rovníc aj s pravou stranou. Je to matica typu 6×7 s rozsahom je $\small (A2 ... G7)$.
Riešenie danej sústavy 6 rovníc so 6 neznámymi s pravou stranou môžeme nájsť pomocou maticového počtu, ktorý je tiež k dispozícii v GeoGebre.
Výsledok. $\small \left(\begin{matrix} a \\ b \\ c \\ d \\ p \\ q \end{matrix}\right)= \left(\begin{matrix} -0,25 \\ -1 \\ -1,25\\ 0 \\ 1,25\\ 1 \end{matrix}\right)$
Transformačné rovnice skúmaného afinného zobrazenia sú prezentované na ďalšom obrázku v ľavej časti obrázka.

Funkčný applet si môžete aktivovať Tu.

Matica zobrazenia $\small f$ v tomto príklade má tvar $\small \mathcal A= \left( \begin{array}{} -\frac{1}{4} & -\frac{5}{4} \\ -1 & \;\;0 \\ \end{array} \right)$, čo predstavuje osovú afinitu.

Cvičenie - nájdite chybu.
Pozrite si geometrický spôsob riešenia podobnej úlohy, v ktorom sa využíva program GeoGebra. Otvorte si riešenie Tu.
V tejto konštrukcii je nesprávne zadaná hodnota v matici vzorov. Nájdite túto zle zadanú hodnotu a opravte ju.