Vybrané kapitoly z aritmetiky a analytickej geometrie

Nech je dané afinné zobrazenie $\small f$, v ktorom sa súradný repér zobrazí na repér $\small \mathcal R' = \left \langle O'=[p,q]; \vec e'_1=(a,b), \vec e'_2=(c,d) \right\rangle$. V tejto kapitole sa budeme zaoberať

1. obrazom bodu v afinnom zobrazení
2. hľadaním vzoru k obrazu bodu
3. obrazom priamky v afinnom zobrazení
4. obrazom ľubovoľného geometrického útvaru v afinnom zobrazení

Poznámky.
Obraz bodu, priamky, geometrického rovinného útvaru v zhodnostnom afinnom zobrazení.

1. Obraz ľubovoľného bodu $\small A(a_1,a_2)$ v afinnom zobrazení $\small f$ určíme jednoducho tak, že súradnice tohto bodu dosadíme do transformačných rovníc. Dostaneme rovnosti $\small {a'_1 = a \cdot a_1 + c \cdot a_2 +p;\; a'_2 = b \cdot a_1 + d \cdot a_2 + q}$, pričom čísla $\small a'_1,a'_2$ predstavujú súradnice bodu $\small A'$. Pozri tvrdenie Analytické vyjadrenie zhodnostného zobrazenia v rovine.
2. Nájsť vzor $\small A(a_1,a_2)$ k danému obrazu $\small A'(a'_1,a'_2)$ v afinnom zobrazení $\small f$ určíme tak, že súradnice obrazu bodu $\small a'_1,a'_2$ dosadíme do transformačných rovníc za premenné $\small x',y'$. Dostaneme sústavu dvoch rovních o neznámych $\small x,y$. Riešenie tejto súsatavy predstavuje súradnice hľadaného vzoru.
3. Určiť obraz priamky $\small p=AB$ v afinnom zobrazení znamená určiť rovnicu priamky $\small p'=A'B'$. To môžeme urobiť dvoma spôsobmi.
   • Ak priamka $\small p$ je určená dvomi rôznymi bodmi $\small A,B$, tak súradnice bodov $\small A,B$ dosadíme do transformačných rovníc afinného zobrazenia. Výpočtom popísanom v predchádzajúcom odseku určíme súradnice bodov $\small A',B'$, ktorými bude určená priamka $\small p'$. Potom určíme napríklad parametrické rovnice priamky $\small p'=A'B'$.
   • Ak priamka $\small p$ je určená rovnicou (napr. vo všeobecnom tvare $\small { p: a_px + b_py +c_p=0};\;b \neq 0$), tak do transformačných rovníc $\small {x' = ax + cy +p;\; y' = bx + dy + q}$ dosadíme za premenné $\small x,y$ súradnice všeobecného bodu $\small P$ priamky. Tento bod určíme pomocou parametra $\small t$ v tvare $\small P[t,- \frac{at+c}{b}]$. (V prípade. že $\small b=0$ zvolíme parameter $\small y=t$). Po dosadení dostaneme parametrické rovnice obrazu priamky
     $\small {x' = at + c(- \frac{a_pt+c_p}{b_p}) +p;\; y' = bt + d(- \frac{a_pt+c_p}{b_p}) + q}$.
4. Obraz ľubovoľného útvaru $\small U$ v afinnom zobrazení $\small f$ určíme, že nájdeme súradnice obrazov charakteristických bodov daného útvaru. Z vlastností zhodných zobrazení a z vlastnosti afinných zobrazení - lineárnosť a zachovanie deliaceho pomeru vyplýva, že obraz útvaru bude určený obrazov charakteristických bodov daného útvaru. Napríklad pre
   • Trojuholník - stačí nájsť obrazy jeho vrcholov.
   • Kružnicu stačí nájsť obraz stredu, polomer sa zachová. Pozrite si riešený príklad v predchádzajúcej kapitole.
   • Euklidovské útvary platí, že sú konštruovateľné pomocou pravítka(priamky) a kružidla(kružnice). Pre tieto útvary vieme nájsť obrazy tak, že "prenieme" aj euklidovskú konštrukciu útvaru.
   • Neeuklidovské útvary možno použiť parametrizáciu týchto útvarov. Takto postupoval Pierre de Fermat, ktorý napríklad analyzoval parabolu cez rovnicu $y=ax^2$. Tým prepojil parabolu s kvadratickou rovnicou a skúmal jej vlastnosti, ako sú symetria, vrchol či dotykové body s priamkami.
5. V súčasnosti pri hľadaní obraz geometrického útvaru významne uľahčuje prácu vhodný softvér. Napríklad GeoGebra má nástroj "Množina bodov", pomocou ktorého ľahko nájdeme obraz rovinného geometrického útvaru. Túto metódu sme popísali pri riešení obrazu kružnice v hyperbolickej rotácii (ide o afinné zobrazenie), ktorá má transformačné rovnice $x'=ax; y'= \frac{1}{a} y$. Na (modrej) kružnici sme si zvolili pohyblivý bod $\small M$ a určili sme jeho obraz $\small M'$. Potom sme aktivovali nástroj "Množina bodov" a klikli sme najskôr na bod $\small M$ a potom na $\small M'$. Program automaticky vykreslil (červenú) elipsu.
   
   Applet je dostupný Tu.

Príklad (Obraz bodu).
Dané je afinné zobrazenie obrazom repéra $\small \mathcal R' = \left \langle O'=[ \frac{-1-\sqrt{3}}{2} , \frac{-1+\sqrt{3}}{2}]; \vec e'_1=( \frac{1}{2},-\frac{\sqrt{3}}{2} ), \vec e'_2=(\frac{\sqrt{3}}{2},\frac{1}{2}) \right\rangle$. Určite obraz bodov $\small [-1,1], [-1,-1]$.

Riešenie.
Transformačné rovnice majú tvar
$\small {x' = \frac{1}{2}x +\frac{\sqrt{3}}{2} y -\frac{1+\sqrt{3}}{2} \\ y' = -\frac{\sqrt{3}}{2} x +\frac{1}{2} y + \frac{\sqrt{3}-1}{2}}$.
Dosadením súradníc $\small [-1,1]$ dostaneme ...
Otvorte si applet Tu.

Príklad (Hľadanie vzoru k obrazu bodu).
Dané je afinné zobrazenie transformačnými rovnicami
$\small {x' = 3x + y − 6 \\ y' = x + y + 1}$.
Ktoré body sa zobrazia do bodov [9, 8] a [−6, 1]?

Riešenie
Súradnice bodu [9, 8] dosadíme do transformačných rovníc za premenné $\small x',y'$. Riešením je dvojica $\small \left\{ x_1 = 4, x_2 = 3 \right\}$. Otvorte si applet na riešenie rovníc Tu.

Príklad (Obraz priamky).
Dané je afinné zobrazenie obrazom repéra $\small \mathcal R' = \left \langle O'=[ -2 , 2]; \vec e'_1=(2,1), \vec e'_2=(-1,1) \right\rangle$. Určite obraz priamky $\small 2x+3y+1=0$ a priamky $\small x=1$.

Riešenie
Analytické riešenie: Transformačné rovnice sú
$\small {x' = 2 x - y -2\\ y' = x + y + 2}.$

1. Pre priamku $\small 2x+3y+1=0$ má jej ľubovoľný bod $\small P$ súradnice $\small P[t,- \frac{2t+1}{3}]$ Po dosadení do transformačných rovníc dostaneme sústavu parametrických rovníc
   $\small {x' = 2 t - (- \frac{2t+1}{3}) -2\\ y' = t + (- \frac{2t+1}{3}) + 2}.$
   Výsledok: po úprave na všeobecný tvar dostaneme rovnicu obrazu priamky: $\small x-8y+15= 0$
   Na syntetické riešenie použite applet Tu.
2. Keďže každý bod priamky $\small  x=1$ má prvú súradnicu rovnú 1, tak stačí hodnotu $\small  x=1$ dosadiť do transformačných rovníc a dostaneme rovnice $\small {x' = - y\;\; y' = y + 3}.$ Po dosadení do druhej rovnice $\small y=-x'$ dostaneme rovnicu obrazu priamky $\small x+y-3= 0$.