Vybrané kapitoly z aritmetiky a analytickej geometrie

Nech je v $\small \mathbb E_n$ je afinné zobrazenie $\small f$, v ktorom sa repér $\left\langle \small O; \vec e_1, \vec e_2, . . . , \vec e_n \right\rangle$ zobrazí na repér $\left\langle \small O; \vec f_1, \vec f_2, . . . , \vec f_m \right\rangle$, pričom pre súradnice obrazov platí
$\small f(O)=[r_1,r_2,...,r_m]$
$\small \vec e'_i=f^*(\vec e_i)=(a^i_1,a^i_2,...,a^i_m)$,
kde $f^*$ je asociované zobrazenie.

Tvrdenie - obraz bodu v afinnom zobrazení.
Nech $\small X=[x_1,x_2,...,x_n]$ je bod euklidovského priestoru, potom pre jeho obraz $\small X'=[x'_1,x'_2,...,x'_m]$ v afinnom zobrazení  $f$ bude platiť

(REP) $\small X'=f(X)=\left(\begin{array}{ccc} a^1_1&...&a^n_1 \\ a^1_2&...&a^n_2 \\... \\ a^1_m&...&a^n_m\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{ccc}x_1 \\ x_2\\ ... \\x_n \end{array}\right) + \left(\begin{array}{ccc}r_1 \\ r_2\\ ...\\r_m \end{array}\right)$.

Dôkaz.
V afinnom priestore platí, že afinné zobrazenie je úplne určené obrazom réperu. Réper v afinnom priestore pozostáva zo základného bodu $\small O$ (začiatok réperu) a množiny lineárne nezávislých vektorov $\vec{v_1}, \vec{v_2}, \dots, \vec{v_n}$. Teda bod $\small X$ sa dá jednoznačne vyjadriť ako lineárna kombinácia

čo predstavuje rovnosť (REP).

Poznámky.

1. Predchádzajúce tvrdenie hovorí, že na určenie afinného zobrazenia stačí poznať obrazy repéra.
2. Jednoznačnosť analytického vyjadrenia (AV) vyplýva z jednoznačnosti vyjadrenia daného bodu $\small X=[x_1,x_2,...,x_n]$ v repéri $\left\langle \small O; \vec e_1, \vec e_2, . . . , \vec e_n \right\rangle$ a z lineárnosti afinného zobrazenia.
3. Pre obraz bodu $\small X=[x_1,x_2,...,x_n]$ platí $\small f(X) = f(O) + x_1f^*(\vec {e_1})+\dots + x_nf^*(\vec {e_n})$.
4. Zápis (AV) nazývame analytické vyjadrenie afinného zobrazenia $f$ vzhľadom k afinnej súradnicovej sústave $\small \mathcal R = \lbrace O; \vec e_1, \vec e_2, . . . , \vec e_n \rbrace$. Ukážka: afinné zobrazenie - applet v GeoGebre Tu resp. Tu. 

Namiesto označenia $\small f(\vec e_i)$ budeme tiež používať označenie $\small \overrightarrow{e'_1}$. V ďalších kapitolách sa zameriame na afinné zobrazenia v euklidovskej rovine, pričom upriamime pozornosť na analytické vyjadrenia zhodných (zhodnostných) zobrazení v rovine.

Úlohy.

1. Určte analytické vyjadrenie identického zobrazenia euklidovskej roviny - identity.
2. Zistite, či rovnoľahlosť v rovine $\small \mathcal{h} : X' = S+k(X−S)$ pre pevne zvolený stred rovnoľahlosti $\small S$ a koeficient rovnoľahlosti $\small k \in R - {0}$ je afinné zobrazenie.

Riešenie úlohy č. 1.
Pre identitu platí, že každý bod roviny sa zobrazí sám na seba, t. j $\small f(X)=X$. Označme súradnice vzoru $\small X$ ako usporiadanú dvojicu $\small (x,y)$ a súradnice jeho obrazu $\small f(X)$ v zobrazení $\small f$ ako $\small (x',y')$. Keďže ide o identické zobrazenie, tak musí platiť
$\small (x',y')=(x,y)$.
Rovnosť usporiadaných dvojíc nastane práve vtedy, keď sa rovnajú odpovedajúce zložky. Teda, keď súčasne platia rovnosti $\small x'=x,y'=y$.
Táto jednoduchá sústava dvoch rovníc je analytickým vyjadrením identity. Ak zapíšeme získanú sústavu dvoch rovníc v maticovom tvare, tak získame rovnicu v tvare
$\small \left(\begin{array}{ccc} x'\\ y' \end{array} \right)=\left(\begin{array}{ccc} 1&0 \\ 0&1 \end{array}\right)\times \left(\begin{array}{ccc}x \\ y \end{array}\right) + \left(\begin{array}{ccc}0 \\ 0 \end{array}\right)$
alebo v riadkovom zápise (maticou násobíme sprava!)
$\small (\begin{array}{} x' & y' \end{array} )=\left( \begin{array}{} x & y \end{array} \right) ·\left( \begin{array}{} 1 & 0 \\ 0 & 1 \\ \end{array} \right)$.
Určte analytické vyjadrenie identického zobrazenia euklidovského priestoru $\small \mathbb E_n; n>2$.

Riešenie úlohy č. 2 je v ďalšej kapitole.