Vybrané kapitoly z aritmetiky a analytickej geometrie

V predchádzajúcej kapitole sme riešili úlohy transformácie euklidovských priestorov $\small \mathbb E_n, \mathbb E_m$, keď $\small n=m$. V tejto kapitole sa budeme zaoberať prípadom $\small n \neq m$.

Príklad zobrazenie $\small f: \mathbb E_2 \rightarrow \mathbb E_3$.
Určte parameter $p$ tak, aby zobrazenie ktoré zobrazuje body $\small A[1, 0], B[0, 1],C[2, p]$ do bodov $\small A'[2,1,-1], B'[3,2,0], C'[1,0,2]$ v tomto poradí bolo afinné. Pre vhodné $p$

• určte obraz $\small P'=f(P)$ ľubovoľného bodu $\small P[x, y]$,
• pomocou stopy bodu na kružnici popíšte a zostrojte obraz kružnice určenej bodmi $\small A[1, 0], B[0, 1],C[2, 3]$,
• takéto afinné zobrazenie geometricky interpretujte v GeoGebre.

Príklad je prevzatý zo zbierky [MOZ], 2.časť, Cvičenie 3.3.5.

Riešenie.
Body $\small P[x, y];P'[x', y',z']$ vyjadrime ako lineárne kombinácie
$\small P=a \cdot A+b \cdot B+c \cdot C$
$\small P'=a \cdot A'+b \cdot B'+c \cdot C'$,
kde $\small a+b+c=1$.Zápis v maticovom tvare V predchádzajúcej kapitole sme ukázali, že
$\small P'=M' \times M^{-1} \times P$,
kde $\small M$ je matica vzorov, $\small M'$ matica obrazov $\small M= \left(\begin{matrix} 1 & 0 & 2 \\ 0 & 1 & p \\ 1 & 1 & 1 \end{matrix}\right)$ , $\small M'= \left(\begin{matrix} 2 & 3 & 1 \\ 1 & 2 & 0 \\ -1 & 0 & 2 \\ 1 & 1 & 1 \end{matrix}\right)$.
Pomocou maticovej kalkulačky určíme inverznú maticu.
Roznásobením
$\small P':\left(\begin{matrix} x' \\ y' \\ z'\\1 \end{matrix}\right)= \left(\begin{matrix} 2 & 3 & 1 \\ 1 & 2 & 0 \\ -1 & 0 & 2 \\ 1 & 1 & 1 \end{matrix}\right) \times \left(\begin{matrix} \frac{p-1}{p+1} & \frac{-2}{p+1} & \frac{2}{p+1} \\ \frac{-p}{p+1} & \frac{1}{p+1} & \frac{p}{p+1} \\ \frac{1}{p+1} & \frac{1}{p+1} & \frac{-1}{p+1} \end{matrix}\right) \times \left(\begin{matrix} x \\ y \\ 1 \end{matrix}\right) = \left(\begin{matrix} -1 & 0 & 3 \\ -1 & 0 & 2 \\ \frac{-p+3}{p+1} & \frac{4}{p+1} & \frac{-4}{p+1} \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix}\right) \times \left(\begin{matrix} x \\ y \\ 1 \end{matrix}\right) = \left(\begin{matrix} -x+3 \\ -x+2 \\ \frac{-\left(px\right)+3x+4y-4}{p+1} \\ 1 \end{matrix}\right)$.
a porovaním ľavej a pravej strany dostaneme transformačné rovnice
$x' \, = \;\;\;- x \;\;+\;\;0y\;+\;\;3\\ y' \, = \;\;\; - x \;\;+\;\;0y\;+\;\;2\\ \\ z'\; =\frac{-p+3}{p+1}x + \frac{4}{p+1}y + \frac{-4}{p+1}.$

Zobrazenie bude afinným práve vtedy, ak $\small p \neq -1$. Súradnice obrazu ľubovoľného bodu $\small P[x, y]$ určíme dosadením súradníc $\small x, y$ do transformačných rovníc. Napríklad pre $\small D[3,1]$ a $\small p=3$ dostaneme $\small D'[0,-1,0]$.
Kružnica určená bodmi $\small A[1, 0], B[0, 1],C[2, 3]$ má stred v bode $\small S \left [\frac{1}{2}, \frac{1}{2} \right ]$ a polomer  $\small \frac{3 \sqrt{2} }{2}$ a jej parametrické vyjadrenie má tvar (pozrite si prácu [VEL, 2012], časť "Kružnica, Veta 8" Tu)
$\small \left [\frac{3}{2}, \frac{3}{2} \right ] +\left [\frac{3 \sqrt{2} }{2}\cos t ,\frac{3 \sqrt{2} }{2}\sin t\right ]$.
Po dosadení týchto parametrických súradníc do transformačných rovníc, zistíme, že obrazom je elipsa ležiaca v rovine $\small x-y-1=0$. Jej parametrické vyjadrenie má tvar 
$\small \left [\frac{3}{2}, \frac{1}{2}, \frac{3}{2} \right ] +\left [-\frac{1}{2}\cos t +\frac{3}{2}\sin t,-\frac{1}{2}\cos t +\frac{3}{2}\sin t, \frac{3}{2}\cos t +\frac{1}{2}\sin t\right ], t, 0, 2π$.

Príklad zobrazenie $\small f: \mathbb E_2 \rightarrow \mathbb E_1$.
Určte transformačné rovnice afinného zobrazenia, ktoré zobrazuje body $[2,1], [3,2],[0,1]$ do bodov $[2], [0], [10]$ v tomto poradí.
Určte obraz ľubovoľného bodu $\small P[x, y]$ a jeho stopu. Príklad je prevzatý zo zbierky [MOZ], 2.časť, Cvičenie 3.3.2a.

Riešenie.
Transformačné určíme pomocou maticovej kalkulačky. Musíme si uvedomiť, že bod-vzor má 2 súradnice a bod-obraz má 1 súradnicu. To znamená, že bod P ako vzor vyjadríme ako lineárnu kombináciu troch bodov $\small A,B,C$. Teda musí byť
$\small P=a \cdot A+b \cdot B+c \cdot C$
$\small P'=a \cdot A'+b \cdot B'+c \cdot C'$,
kde $\small a+b+c=1$.

$\small P'=\left(\begin{matrix} x' \\ 1 \end{matrix}\right)= \left(\begin{matrix} 2 & 0 & 10 \\ 1 & 1 & 1 \end{matrix}\right) \times \left(\begin{matrix} \frac{1}{2} & \frac{-3}{2} & \frac{3}{2} \\ 0 & 1 & -1 \\ \frac{-1}{2} & \frac{1}{2} & \frac{1}{2} \end{matrix}\right) \times \left(\begin{matrix} x \\ y \\ 1 \end{matrix}\right)= \left(\begin{matrix} -4 & 2 & 8 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix}\right) \times \left(\begin{matrix} x \\ y \\ 1 \end{matrix}\right)= \left(\begin{matrix}-4x+2y+8 \\1\end{matrix}\right).$

$x' =-4x+2y+8.$

Príklad zobrazenie $\small f: \mathbb E_3 \rightarrow \mathbb E_2$.
Určte transformačné rovnice afinného zobrazenia, ktoré zobrazuje body $[1,2,3], [1,1,1],[1,0,1],[0,1,3]$ do bodov $[5,4], [2,1], [1,0], [3,2]$ v tomto poradí.

1. Pokúste sa toto afinné zobrazenie geometricky interpretovať pomocou GeoGebry. Príklad je prevzatý zo zbierky [MOZ], 2.časť, Cvičenie 3.3.7.
2. Určte obraz nejakej kružnice a jej stredu.

Riešenie.
Transformačné určíme pomocou maticovej kalkulačky

$\small P'=\left(\begin{matrix} x' \\ y' \\ 1 \end{matrix}\right)= \left(\begin{matrix} 5 & 2 & 1 & 3 \\ 4 & 1 & 0 & 2 \\ 1 & 1 & 1 & 1 \end{matrix}\right) \times \left(\begin{matrix} 1 & 0 & \frac{1}{2} & \frac{-3}{2} \\ -1 & 1 & -1 & 2 \\ 1 & -1 & \frac{1}{2} & \frac{-1}{2} \\ -1 & 0 & 0 & 1 \end{matrix}\right) \times \left(\begin{matrix} x \\ y \\ 1 \end{matrix}\right) = \left(\begin{matrix} 1 & 1 & 1 & -1 \\ 1 & 1 & 1 & -2 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{matrix}\right) \times \left(\begin{matrix} x \\ y \\ 1 \end{matrix}\right) = \left(\begin{matrix}x+y+z-1 \\x+y+z-2 \\1\end{matrix}\right).$

$x'=x+y+z-1 \\y'=x+y+z-2$.

V ďalších kapitolách ukážeme, že afinné zobrazenie $\small f :\mathbb E_n \rightarrow \mathbb E_m$ je jednoznačne určené

• obrazmi $\small n + 1$ lineárne nezávislými bodmi euklidovského priestoru $\small \mathbb E_n$ alebo
• obrazmi repéru euklidovského priestoru $\small \mathbb E_n$.