Afinný priestor a afinné zobrazenia interaktívne: Lineárna kombinácia bodov

Euklidovský priestor

Lineárna kombinácia bodov

Nech

$\small \mathbb{E}_n$ je

$\small n$ -rozmerný euklidovský priestor so zameraním

$\small V_n(\mathbb R)$ a nech

$\small P, Q, P_1,P_2,...,P_m$ sú body tohto euklidovského priestoru.

Definícia.
Afinná (barycentrická resp. lineárna) kombinácia bodov. Nech

$\small P, P_1,P_2,...,P_m \in \mathbb{E}_n$ , tak súčtom (afinnou kombináciou bodov)

$\small \alpha_1 P_1+...+ \alpha_m P_m$ rozumieme bod
(AK)

$\small P + \alpha_1(P_1 − P) + · · · + \alpha_m(P_m − P)$ ,
pričom pre

$\small α_1, . . . , α_m \in \mathbb R$ musí platiť

$\small α_1+ . . . + α_m = 1$ .

Dôkaz korektnosti definície.
Treba ukázať, že afinná kombinácia (AK) nezávisí od voľby bodu

$\small P$ .

Nech

$\small α_1+ . . . + α_m = 1$ a nech

$\small Q \in \mathbb{E}_n$ je ľubovoľný bod (uvedomte si, že

$\small \mathbb{E}_n$ je tiež afinným priestotom). Upravujme afinnú kombináciu

$\small Q+ \alpha_1(P_1-Q) + \cdot \cdot \cdot +\alpha_m(P_m-Q) =$
aplikovaním tvrdenia

$\small \forall P,Q\in \mathbb{E}_n: Q=P+(Q-P)$ dostaneme

$\small =P+(Q-P) + \alpha_1(P_1-(P+(Q-P)) + \cdot \cdot \cdot +\alpha_m(P_m-(P+(Q-P)) =$

$\small=P + (Q-P) - \alpha_1(Q-P) + \cdot \cdot \cdot - \alpha_m(Q-P)+ \alpha_1(P_1-P) + \cdot \cdot \cdot + \alpha_m(P_m-P) =$

$\small=P + (Q-P)- [(\alpha_1 + \cdot \cdot \cdot + \alpha_m)(Q - P)] + [\alpha_1(P_1 - P) + \cdot \cdot \cdot + \alpha_m(P_m - P)] =$

$\small = P + [(Q-P)- 1 . (Q − P)]+ [\alpha_1(P_1 - P) + \cdot \cdot \cdot + \alpha_m(P_m - P)] =$

$\small = P + \alpha_1(P_1 − P) + \cdot \cdot \cdot + \alpha_m(P_m − P)$ .
Čo bolo treba dokázať.

Otvorte si applet Tu.

Usporiadaná množina bodov

$\small \pmb S = \left\{\small O, E_1, . . . , E_n \right\}$ afinného priestoru

$\small \mathcal{A}^n$ sa nazýva simplex priestoru

$\small \mathcal{A}^n$ , kde

$\small \left\langle O, \pmb {e_1}, . . . ,\pmb {e_n} \right\rangle$ je repér priestoru $\small \mathcal{A}^n$ ,
$\small \overrightarrow{OE_i} = \pmb {e_i}$ sú ortonormálové vektory.

Ľubovoľný bod

$\small X$ má v tomto repéri súradnice

$\small [x_1, . . . , x_n]$ .

Teda môžeme zapísať

$\small \overrightarrow{OX} = x_1\pmb {e_1} + . . . + x_n\pmb {e_n}=x_1\overrightarrow{OE_1}+ . . . + x_n\overrightarrow{OE_n}$ .

Veta (Bod ako kombinácia simplexu).
Ľubovoľný bod

$\small X \in \mathcal{A}^n$ sa dá jednoznačne vyjadriť v tvare

$\small X=x_oO + x_1E_1 + · · · + x_nE_n$ ,
kde

$\small x_o + x_1 + · · · + x_n = 1$ a

$\small \pmb S = \left\{\small O, E_1, . . . , E_n \right\}$ je simplex afinného priestoru

$\small \mathcal{A}^n$ .

Dôkaz.
Z vlastnosti (AP1) afinného priestoru vyplýva, že pre ľubovoľný (každý) bod

$\small Q \in \mathcal{A}^n$ platí
(Q)

$\small \overrightarrow{OX}=\overrightarrow{OQ}+\overrightarrow{QX}$ .
Vektor

$\small \overrightarrow{OX}$ vzhľadom na repér

$\small \left\langle O, \pmb {e_1}, . . . ,\pmb {e_n} \right\rangle$ sa dá jednoznačne vyjadriť ako lineárna kombinácia

$\small \overrightarrow{OX}= x_1\overrightarrow{OE_1}+ . . . + x_n\overrightarrow{OE_n}$ .

Využitím vzťahov

$\small \overrightarrow{OE_i}=\overrightarrow{OQ}+\overrightarrow{QE_i}$ upravme vzťah (Q)

$\small \overrightarrow{OX}=x_1(\overrightarrow{OQ}+\overrightarrow{QE_1})+...+ x_n(\overrightarrow{OQ}+\overrightarrow{QE_n})$ ,
odkiaľ

$\small \overrightarrow{OX}=(x_1+ . . . + x_n)\overrightarrow{OQ}+x_1\overrightarrow{QE_1}+ . . . + x_n\overrightarrow{QE_n}$ .
Bez ujmy na obecnosti položme resp. označme

$\small x_0=1-(x_1+ . . . + x_n)$ . Potom dostaneme

$\small \overrightarrow{OX}= (1-x_0)(Q-O)+x_1(E_1-Q)+ . . . + x_n(E_n-Q)$
Na základe tvrdenia " Operácie s bodmi" môžeme písať

$\small \overrightarrow{OX}=Q-x_0Q -O+x_0O-(x_1Q+ . . . + x_nQ)+(x_1E_1+ . . . + x_nE_n)$

$\small X=(O-O)+x_0O+Q-x_0Q -(x_1Q+ . . . + x_nQ)+(x_1E_1+ . . . + x_nE_n)$

$\small X=x_0O+[(1-x_0) -(x_1+ . . . + x_n)]Q+(x_1E_1+ . . . + x_nE_n)$ .
Teraz si stačí uvedomiť, že

$[(1-x_0) -(x_1+ . . . + x_n)]=0$ . Potom dostaneme

$\small X=x_0O+(x_1E_1+ . . . + x_nE_n)$ .
Tým je dôkaz ukončený..

Pretože rovnosti v dôkaze predošlej vety nezávisia na voľbe bodu

$\small Q \in \mathcal{A}$ , tak ku každému usporiadanému simplexu

$\small S$ a bodu

$\small X$ afinného priestoru

$\small \mathcal{A}^n$ existuje jediná sústava skalárov

$\small {x_o, . . . , x_n}$ tak, že platí rovnosť uvedená v tejto vete. Zrejme platí aj obrátená veta: Každá sústava skalárov

$\small {x_o, . . . , x_n}: \; \;x_0+x_1 + · · · + x_n=1$ jednoznačne určuje bod

$\small X \in \mathcal{A}^n$ , pre ktorý platí tvrdenie vety.

Z dôkazu predchádzajúcej vety vyplýva, že súčet

$\small x_0+x_1 + · · · + x_n$ je rovný jednej. Preto podmienka

$\small α_1+ . . . + α_m = 1$ v definícii afinnej kombinácii bodov je dôležitá a nutná.

Cvičenie.

Nech $\small A,B \in \mathbb E_2$ sú dva rôzne body. Zistite, aký bod predstavuje lineárna kombinácia $\small \frac{1}{2}A+ \frac{1}{2}B$ .
Nech $\small A,B,C \in \mathbb E_3$ sú tri nekolineárne body. Zistite, ktorý bod predstavuje lineárna kombinácia $\small \frac{1}{3}A+ \frac{1}{3}B +\frac{1}{3}C$ . Vyjadrite pomocou lineárnej kombinácie vrcholov trojuholníka $\small ABC$ ľubovoľný vnútorný bod tohto trojuholníka.
Vyjadrite pomocou lineárnej kombinácie nezávislých bodov $\small A_0,A_1,...,A_k \in \mathbb{E}_{k+1}$ ľubovoľný bod podpriestoru $\small \mathbb{E}_{k+1}$ určeného týmito bodmi. [Poznámka: lineárne nezávislé body sú také, pre ktoré napr. vektory $\small \overrightarrow{A_0A_1},...,\overrightarrow{A_0A_k} \in \mathbb{V}_{k}$ sú nezávislé.]