Vybrané kapitoly z aritmetiky a analytickej geometrie

Bázu vektorového priestoru $\small V_n(\mathbb R)$ tvorí ľubovoľná $n$-tica lineárne nezávislých vektorov $\small \vec{a_1},\vec{a_2}, ...,\vec{a_n}$.

1. Bázu $\small V_n(\mathbb R)$, ktorú tvoria $n$-tice reálnych čísel
   $\small (\vec {e_1}=(1,0,...,0),\vec{e_2}=(0,1,0,...,0), ...,\vec{e_n}=(0,0,...,1))$,
   budeme nazývať jednotková (ortonormálna) báza. Dokážte, že vektory $\small \vec{e_1},\vec{e_2}, ...,\vec{e_n}$ sú nezávislé.
2. Ľubovoľný vektor $\small \small \vec v \in V_n(\mathbb R): \vec v=(v_1,v_2,...,v_n$ je lineárnou kombináciou vektorov $\small \vec{e_1},\vec{e_2}, ...,\vec{e_n}$, lebo platí
   $\small (v_1,v_2, ...,v_n) =v_1 \cdot (1,0,...,0) \oplus v_2 \cdot (0,1,0,...,0) \oplus v_n \cdot (0,0,...,1)$

Definícia (Súradnice vektora v báze).
Nech $\small \vec{e_1},\vec{e_2}, ...,\vec{e_n}$ je jednotková báza a $\small \vec{a_1},\vec{a_2}, ...,\vec{a_n}$ je iná báza vektorového priestoru $\small V_n(\mathbb R)$.

• Usporiadanú n-ticu $\small (v_1,v_2, ...,v_n)$ reálnych čísel nazývame súradnice vektora $\small \vec v$ v jednotkovej báze $\small (\vec{e_1},\vec{e_2}, ...,\vec{e_n} )$, pričom zrejme platí
  $\small {(v_1,v_2,...,v_n)}=v_1 \cdot (1,0,...,0) \oplus v_2 \cdot (0,1,0,...,0) \oplus v_n \cdot (0,0,...,1)$.
• Súradnice $\small w_1,w_2, ...,w_n$ vektora $\small \vec v$ v báze $\small \mathcal A= \lbrace{\vec{a_1},\vec{a_2}, ...,\vec{a_n}}\rbrace$ budeme zapisovať pomocou dolného indexu
  $\small {(w_1,w_2,...,w_n)}_{\mathcal A}=w_1 \cdot \vec{a_1} \oplus w_2 \cdot\vec{a_2} \oplus ...\oplus w_n \cdot \vec{a_n}$.

Príklad.

• Nech $\small S =(\vec a (1, 1, 2),\;\vec b(2, 3, 4),\;\vec c (1, 2, 3))$ je báza priestoru $\small V_3(\mathbb R)$. Nájdite vektor vo $\small V_3(\mathbb R)$, ktorého súradnice vzhľadom k báze $\small S$ sú $\small (-1, 3, 2)$.
• ♥ Nájdite súradnice vektora $\small u = (5, −1, 9)$ vzhľadom k báze $\small S$.

Riešenie.

1. Zrejme
   $\small \vec v = (-1).(1, 1, 2) + 3(2, 3, 4) + 2.(1, 2, 3) = (7, 12, 16)$.
   Toto sú súradnice vektora $\small \vec v$ vzhľadom k jednotkovej báze. Je dôležité dodržať poradie prvkov bázy $\small S$.


2. Určiť súradnice vzhľadom k báze $\small S$ znamená vektor $\small \vec u$ vyjadriť ako lineárnu kombináciu prvkov bázy $\small S$. Opäť treba dať pozor na poradie prvkov bázy. Musíme nájsť $\small r, s, t \in \mathbb R$, pre ktoré platí:
   $\small \vec u = r.(1, 1, 2) + s.(2, 3, 4) + t.(1, 2, 3)$
   po dosadení
   (r) $\small (5, -1, 9) = r.(1, 1, 2) + s.(2, 3, 4) + t.(1, 2, 3)$.
   Úlohu môžeme riešiť ako sústavu rovníc (vyriešte úlohu týmto spôsobom).
   $\small \begin{array}{ccc} 5= \\ -1= \\ 9= \end{array} \begin{array}{ccc} 1.r\;+\;2.s;\;+\;1.t \\ 1.r\;+\;3.s\;+\;2.t \\ 2.r\;+\;4.s\;+\;3.t\end{array}$
   alebo rovnosť (r) prepíšeme na maticový tvar (vektory bázy zapisujeme do stĺpcov! Prečo?) takto:
    $\small \left(\begin{array}{ccc} 5 \\ -1 \\ 9 \end{array}\right) = \left(\begin{array}{ccc} 1&2&1 \\ 1&3&2 \\ 2&4&3\end{array}\right) \cdot \left(\begin{array}{ccc} r \\ s \\ t \end{array}\right)$
   Vyjadriť vektor $\small (r, s, t)^T$ (transponovaný zápis vektora) môžeme tak, že obe strany rovnice (iv) vynásobíme zľava inverznou maticou
   $\small \left(\begin{array}{rrr}1&-2&1\\1&1&-1\\-2&0&1\\ \end{array}\right)$.
   Inverznú maticu určíme napríklad pomocou programu GeoGebra, otvorte si applet "inverzná matica" Tu. Po vynásobení zľava obidvoch strán rovnice (iv) dostaneme
   $\small \left(\begin{array}{rrr}1&-2&1\\1&1&-1\\-2&0&1\\ \end{array}\right) \cdot \left(\begin{array}{ccc} 5 \\ -1 \\ 9 \end{array}\right) = \left(\begin{array}{ccc} r \\ s \\ t \end{array}\right)$.
   
   Riešením je vektor $\small (r, s, t)^T =(16, -5, -1)^T$. Otvorte si výpočty Matrix calculator a v Matrix calculator Tu a v GeoGebre Tu.

Nasledujúci applet demonštruje určenie súradníc vektora $\small \vec u = (0,0,2)$ v báze $\small (1, 2,2) ;(1,2,1);(-1, 1,0)$ Riešením sú súradnice $\small (1,-1,0)$. Vypočítajte ich pomocou maticového tvaru, pričom využite program Matrix calculator.

♥ Príklad.
Je dané lineárne zobrazenie $\small \varphi:V_3\to V_3$, ktoré jednotkovú bázu $\small (\vec{e_1},\vec{e_2}, \vec{e_3} )$ zobrazí na bázu
$\small (\vec a (1, 1, 2),\;\vec b(2, 3, 4),\;\vec c (1, 2, 3))$
priestoru $\small V_3(\mathbb R)$. Nájdite obraz $\small \vec u'=(u'_1,u'_2,u'_3)$ vektora $\small \vec u = (5, −1, 9)$ v tomto zobrazení.

Poznámka.
Nech $\small V,W$ sú vektorové priestory nad telesom $\small \mathbb R$. Zobrazenie $\small \varphi:V\to W$ sa nazýva lineárne zobrazenie, ak je splnené nasledovné:
$\small \begin{array}{ll}(\textrm{i})&\varphi(\vec u+\vec v)=\varphi(\vec u)+\varphi(\vec v)\\(\textrm{ii})&\varphi(\alpha\cdot\vec u)=\alpha\cdot\varphi(\vec u)\end{array}$
kde $\small \vec u,\vec v \in V$ a $\small \varphi \in \mathbb R$.

Riešenie.

1. Využitím vlastností lineárneho zobrazenia.
   Vektor $\small \vec u = (5, −1, 9)$ vyjadríme ako lineárnu kombináciu $\small \vec u = 5\vec{e_1}-1\vec{e_2}+9\vec{e_3}$ vektorov jednotkovej bázy. Keďže zobrazenie zobrazenie $\small \varphi$ je lineárne, tak musí platiť
   $\small \vec u' = \varphi \vec u =$ $\small =\varphi[ 5\vec{e_1})-1(\vec{e_2})+9(\vec{e_3}) ]$$\small = \varphi[5.(1,0,0) + (-1)(0,1,0) + 9.(0,0, 1)]$ $\small =5\varphi(\vec{e_1})-1\varphi(\vec{e_2})+9\varphi(\vec{e_3})$.
   Po úprave dostaneme:
   $\small \vec u' = 5.(1, 1, 2) -1.(2, 3, 4) + 9.(1, 2, 3)$.
   Po roznásobení a postupným sčítaním po zložkách dostaneme, že riešením je vektor $\small \vec u'=(u'_1,u'_2,u'_3) =(12, 20, 33)$.
2. S použitím programu Matrix calculator si môžete prezrieť Tu.