Vybrané kapitoly z aritmetiky a analytickej geometrie

V ďalších kapitolách sa budeme zaoberať len euklidovským priestorom $\small \mathbb E_n$ so zameraním $\small V_n(\mathbb R)$. Zameriame sa prevažne len na dvojrozmerný a trojrozmerný euklidovský priestor - rovinu $\small \mathbb E_2$ a priestor $\small \mathbb E_3$. Pripomíname, že v euklidovskom priestore je definovaný skalárny súčin.

Definícia (Afinné zobrazenie).
Nech $\small \mathbb E_r, \mathbb E_s$ sú euklidovské podpriestory priestoru $\small \mathbb E_n$. Zobrazenie
$f: \small \mathbb E_r \rightarrow \mathbb E_s$
sa nazýva afinné zobrazenie (AZ), ak obrazom ľubovoľných troch kolineárnych bodov sú buď totožné body, alebo kolineárne body, pričom ich deliaci pomer sa zachováva.

Z definície vyplýva, že afinné zobrazenie má vlastnosť lineárneho zobrazenia. Vo všeobecnosti platí nasledujúca veta "Maticové vyjadrenie AZ". Pozrite si tiež vetu "Obraz bodu v afinnom zobrazení" v kapitole Analytické vyjadrenie.

Veta (Maticové vyjadrenie AZ).
Afinné zobrazenie $f: \small \mathbb E_r \to \small \mathbb E_s$ medzi euklidovskými podpriestormi priestoru $\small \mathbb E_n$ možno vyjadriť ako
$f\small (X) =\small \mathbb{A} \small X + \normalsize b$ ,
ktoré bodu $\small X$ priradí bod $\small X'=f(X)$, kde $\small \mathbb{A}$ je lineárna matica (zobrazenie medzi vektorovými podpriestormi $\small V_r(\mathbb R)$ a $\small V_s(\mathbb R)$); a $\normalsize b$ je pevný vektor (posunutie), ktorý je určený obrazom počiatku repéru v zobrazení $f: \small \mathbb E_r \rightarrow \mathbb E_s$.

Dôkaz .
Uvedieme len hlavné myšlienky dôkazu.

1. Zrejme afinné zobrazenie zachováva afinné kombinácie, teda musí plaitť
   $\small f (\lambda X+(1-\lambda )Y)= \lambda f(X)+(1-\lambda )f(Y)$ 
   pre ľubovoľné body $\small X,Y$ euklidovského priestoru $\small \mathbb E_n$.
2. Uvažujme o asociovanom zobrazení $\small f^*$ medzi vektorovými priestormi $\small V_r(\mathbb R), V_s(\mathbb R)$ (zamerania afinných podpriestorov $\small \mathbb E_r, \mathbb E_s$). Potom pre bod $\small X=O+\vec x$ a zobrazenie $\small f^*$ bude platiť
   (pozrite si riešenie príkladu "Nájdite súradnice vektora" pri zobrazení bázy $\small V_3(\mathbb R)$ v kapitole Súradnice v báze)
   $\small f^*(\vec x)=f(O+\vec x)-f(O)$.
3. Po dosadení a vhodných úpravách dostaneme
   $\small f(X)=f(O+\vec x)=f^*(\vec x)+f(O)$,
   čo v súradniciach predstavuje
   $f\small (X) =\small \mathbb{A} \small X + \normalsize b$ .

Podrobnejší dôkaz tohto tvrdenia nájdete napríklad v práci [ZLA].

Vo všeobecnosti môžeme konštatovať, že afinné zobrazenie zachováva nasledovné vlastnosti:

1. Lineárnosť.
   Afinné zobrazenie $f$ zachováva lineárne kombinácia bodov. Ak platí
   $\small P=\alpha_1 P_1+...+ \alpha_k P_k$ ,
   tak musí platiť aj
   $P'=\small \alpha_1 P'_1+...+ \alpha_k P'_k$,
   kde $\normalsize f(\small P)=P', \normalsize f(\small P_i)=P'_i, \normalsize α_1+ . . . + α_k = 1$.
2. Kolineárnosť .
   Afinné zobrazenie zachováva kolineárnosť bodov. Teda ak tri body sú kolineárne pred zobrazením, zostanú kolineárne aj po zobrazení. 
3. Deliaci pomer.
   Afinné zobrazenie zachováva pomery medzi bodmi na priamke, ale nemusí zachovať vzdialenosti bodov alebo veľkosti uhlov. Teda platí:
   $\mu (\small ABC) =\mu (\small A'B'C')$.

Príklad.
Afinné zobrazenie $f: \small \mathbb E_2 \rightarrow \mathbb E_2$ je dané maticou $\small \left(\begin{matrix} 3 & 1 \\ 1 & 1 \end{matrix}\right)$ a vektorom posunutia $\small \left(\begin{matrix} -6 \\1 \end{matrix}\right)$.
Určte súradnice obrazu bodu $\small X=[3, -1]$. Ktorý bod sa zobrazia do bodu [9, 8] ? Určte obraz vektora $\vec v=(2,3)$ a tiež obrazy vektorov ortonormálnej bázy. Využite dynamický (applet) model tohto afinného zobrazenia.

Riešenie.  ♥ Nájdite chyby v riešení (aj v grafickej interpretácii), získate 1+1 plusový bod.
Maticové vyjadrenie tohto afinného zobrazenia bude mať tvar
$\small \left(\begin{matrix} x' \\ y' \end{matrix}\right)= \left(\begin{matrix} 3 & 1 \\ 1 & 1 \end{matrix}\right) \times \left(\begin{matrix} x \\ y \end{matrix}\right)+ \left(\begin{matrix} -6 \\1 \end{matrix}\right)$,
čo je ekvivalentné zápisu ("transformačným rovniciam")
$\small {x' = 3x + y − 6 \\ y' = x + y + 1}$.
Teraz súradnice bodu [3, -1] dosadíme do maticového vyjadrenia (AZ) alebo použijeme transformačné rovnice a dostaneme, že bod $\small X=[3, -1]$ sa zobrazí do bodu $\small X'=[3, 3]$.

Hľadajme, ktorý bod sa zobrazí do bodu [9 , 8]. Súradnice tohto obrazu dosadíme do transformačných rovníc za premenné $\small x',y'$. Riešením je dvojica $\small \left\{ x_1 = 4, x_2 = 3 \right\}$.

Obraz vektora $\vec v=\small (2,3)$ určíme dvoma spôsobmi:

1. Pomocou obrazov jeho počiatku $\small O=[0,0]$ a jeho koncového bodu $\small V=[2,3]$. Počiatok sa zorazí do bodu $\small O'=[-6,1]$ a koncový bod do bodu $\small V'=[3,6]$. Potom vektor $\vec v'=\small ([3,6]-[-6,1]=[9,5]$
2. Pomocou lineárnej matice ako súčin
   $\small \left(\begin{matrix} 3 & 1 \\ 1 & 1 \end{matrix}\right) \times \left(\begin{matrix} 2 \\ 3 \end{matrix}\right)$

V obidvoch prípadoch zistíme, že obrazom je vektor $\vec v'=\small (9,5)$. Nájdenie súradníc vektorov bázy prenecchávame na čitateľa.

Cvičenie.  ( ♥ - vyriešte a získate plusový bod)
Určte obrazy súradného simplexu $\small \pmb S = \left\{\small O, E_1, E_2 \right\}$ v afinnom zobrazení z predchádzajúceho príkladu "Transformačná matica". Pokúste sa to zovšeobecniť na simplex $\small \pmb S = \left\{\small O, E_1, . . . , E_n \right\}$.

Pomoc

1. Najskôr určte súradnice obrazu počiatku $\small O=[0,0,...,0]$ dosadením do vektorovej rovnice
   $f\small (X) =\small \mathbb{A} \small X + \normalsize b$
   a ukážte, že $\small O'=[b_1,b_2,...,b_n]$ resp. $\small O'=b$.
2. Potom určte súradnice obrazu bodu $\small E_1=[1,0,...,0]$, pričom využijete vlastnosť, že
   $\small \overrightarrow{O'E'_1}=E'_1-O'=\mathbb{A} \times  \mathbb{E}^T_1$.
   Potom ukážte, že súradnice vektora $\small \overrightarrow{O'E_1'}$ sú zhodné so prvkami prvého stĺpca matice $\small \mathbb{A}$.

Poznámky.

1. Afinné zobrazenie môže, ale nemusí, zachovávať vzdialenosti bodov a veľkosti uhlov. Ak ich zachováva, tak sa nazýva "izometria".
2. V prípade izometrie transformačná matica $\small \mathbb{A}$ je ortogonálna, pre ktorú platí:
   $\small \mathbb{A}^T \mathbb{A} = I$,
   kde $\small I$ je jednotková matica. V práci [PTA, 2016] nájdete dôkaz tvrdenia pre euklidovský priestor $\small \mathbb E_3$.
3. Ak $\small n=m$, tak afinnému zobrazeniu $\small f$ hovoríme transformácia euklidovského priestoru $\small \mathbb E_n$.