Euklidovský priestor

Vektorový priestor, na ktorom je definovaný skalárny súčin (tiež nazývaný aj vnútorný súčin) umožňuje rozumne definovať geometrické pojmy uhol a vzdialenosť, čím na tomto vektorovom priestore vzniká dodatočná geometrická metrika.
Euklidovský priestor je \small n -rozmerný afinný priestor so zameraním \small V_n(\mathbb R) a s vyššie definovaným skalárnym súčinom; označovať’ ho budeme symbolom \small \mathbb E_n .
Táto definícia presne vystihuje podstatu \small n -rozmerného euklidovského priestoru ako afinného priestoru so skalárnym súčinom na jeho zameraní. Pre úplnosť by však bolo vhodné zdôrazniť, že skalárny súčin indukuje metriku a normu, čo je kľúčové pre geometriu tohto priestoru. Normu sme popísali v kapitole Cauchy-Schwarzova nerovnosť.
Definícia (Súradnicová sústava).
Lineárnu súradnicovú sústavu v \small \mathbb E_n danú repérom \small \mathcal R = \lbrace O; \vec e_1, \vec e_2, . . . , \vec e_n \rbrace nazývame karteziánskou súradnicovou sústavou, ak \small \lbrace \vec e_1, \vec e_2, . . . , \vec e_n \rbrace je ortonormálna báza zamerania \small V_n(\mathbb R) .
Budeme používať označenie súradníc bodu: \small X[x_1, x_2, . . . , x_n] (hraranté zátvorky) a označenie súradníc vektora: \vec v = (v_1, v_2, . . . , v_n) (okrúhle zátvorky) v karteziánskej súradnicovej sústave.
Definícia (Vzdialenosť bodov).
Pod vzdialenosťou dvoch bodov \small X,Y euklidovského priestoru rozumieme normu prislúchajúceho vektora \vec v = \overrightarrow{XY}, t.j.
\small |XY | = ||Y-X||=∥\vec v∥ = \sqrt{\overrightarrow{XY}. \overrightarrow{XY}}.
Dokážte.
  1. Pre ľubovoľné tri body \small X,Y, Z ∈ \mathbb E_n platí
    \small |XY | + |Y Z| = |XZ| \Leftrightarrow Y ∈ XZ
    (Poznamenajme, že zápis \small Y ∈ XZ znamená, že bod \small Y patrí úsečke \small XZ, čo znamená, že existuje parameter \small t ∈ (0; 1), taký, že platí \small Y = X + t(Z − X).)
  2. Bod \small \in \mathbb E_n je stredom dvojice bodov \small A, B \in \mathbb E_n práve vtedy, keď \small|SA| = |SB| = \frac{1}{2} |AB|.
Tvrdenie.
Nech \alpha : a_1x_1 + a_2x_2 + \dots + a_nx_n + a_0 = 0 je nadrovina v \small \mathbb E_n. Označme vektor \vec n = (a_1, a_2, \dots, a_n). Potom:
  1. Vektor \small \vec n je nenulový.
  2. Vektor \small \vec n je kolmý na každý vektor zo zamerania \small V_\alpha.
  3. Každý vektor, ktorý je kolmý na \small V_\alpha, je násobkom vektora \small \vec n.
Nech \alpha, \beta sú nadroviny euklidovského priestoru \small \mathbb E_n. Potom \alpha, \beta sú rovnobežné nadroviny práve vtedy, keď ich normálové vektory sú lineárne závislé.
Vektor \small \vec n sa nazýva normálový vektor nadroviny \small \alpha (normálový vektor nadroviny \small \alpha budeme označovať aj \small \vec n_\alpha).
Definícia (uhol dvoch euklidovských podpriestorov).
  1. \small \varphi nazývame uhol priamok \small a, b, ak:
    \small \cos\varphi = \frac{|\vec a \cdot \vec b|}{\|\vec a\| \|\vec b\|}, kde \small V_a = [\vec a], \small V_b = [\vec b].
  2. Uhol priamky \small p a podpriestoru \small \mathbb E'_k:
    \small \angle(p, \mathbb E'_k) := \begin{cases} \frac{\pi}{2}, & \text{ak } p \perp \mathbb E'_k \\ \angle( \vec p, \vec p^*), & \text{ak } p \not\perp \mathbb E'_k \end{cases}
    kde \small \vec p^* je ortogonálny priemet smerového vektora \small \vec p priamky \small p do podpriestoru \small V'_k.
  3. Uhol podpriestoru \small \mathbb E'_k a nadroviny \small \mathbb E''_{n-1}:
    \small \angle(\mathbb E'_{k} , \mathbb E''_{n-1}):= \small \angle({\mathbb E'_k}^\perp,{\mathbb E''_{n-1}}^\perp)
Cvičenie. Zdôvodnite:
  1. Ak \small X[x_1, x_2, . . . , x_n], Y[y_1, y_2, . . . , y_n] sú súradnice bodov v karteziánskej súradnicovej sústave, tak pre vzdialenosť bodov \small X,Y platí
    \small |XY | = \sqrt{(y_1- x_1)^2 + (y_2-x_2)^2 + \dots+ (y_n - x_n)^2} . .
  2. Bod \small S ∈ \mathbb E_n je stredom dvojice bodov \small A, B ∈ \mathbb E_n práve vtedy, ked’ \small |SA| = |SB| = \frac{1}{2} |AB| .
  3. Vypočítajte veľkosť vektora \small \vec c=3\vec a+2\vec b , ak \small ||\vec a||=3,||\vec b||=4,|\angle (\vec a, \vec b)||= \frac{2}{3} \pi .
\( .\)