Vybrané kapitoly z aritmetiky a analytickej geometrie

V predchádzajúcej kapitole sme uviedli, že dimenzia (rozmer) afinného priestoru sa definuje ako dimenzia jeho vektorového zamerania. Teda definitoricky
dim $\small \mathbb A :=$ dim $\small V (\mathbb A)$.

Poznámky (Pripomenutie pojmov).

1. Dimenziu afinného priestoru označujeme indexom vpravo hore, napríklad $\small n$-rozmerný afinný priestor ako $\small \mathbb A^{n}$.
2. Afinný priestor dimenzie 1 nazývame afinná priamka, označujeme ho $\small \mathbb A^{1}$ ale aj ako obvykle $\small a, b, p, . . .$
3. Afinný priestor dimenzie 2 nazývame afinná rovina, označujeme ho $\small \mathbb A^{2}$ ale aj ako obvykle $\small \alpha, \; \beta,\;...$
4. Afinný priestor dimenzie $\small n-1$ nazývame afinná nadrovina.

Uvedieme základné definície z práce [MONa], v ktorých sa pomocou bázy vektorového priestoru zavádza repér afinného priestoru a (lineárna) afinná súradnicová sústava. Súhrnne sa pre tento systém používa označenie: afinný súradnicový systém.

Definície.

1. Nech $\small (\mathcal {A} , V,f)$ je afinný priestor a $\small O$ je ľubovoľný (referenčný) bod tohto priestoru. Ďalej nech $\lbrace{\pmb {e_1} , \pmb {e_2}, \cdot \cdot \cdot, \pmb {e_n}}\rbrace$ je báza (nie nutne ortonormálna) vektorového priestoru $\small V$. Potom $\small (n + 1)$-tica $\small \left\langle O;\pmb {e_1} ,\pmb {e_2} , \cdot \cdot \cdot ,\pmb {e_n}\right\rangle$ sa nazýva repér afinného priestoru $\small \mathcal {A}$.

1. Nech $\small (\mathcal {A} , V,f)$ je afinný priestor, nech $\small \left\langle O;\pmb {e_1} ,\pmb {e_2} , \cdot \cdot \cdot ,\pmb {e_n} \right\rangle$ je repér v $\small \mathcal {A}$. Nech P je ľubovoľný pevne zvolený (polohový) bod afinného priestoru. Lineárna súradnicová sústava (stručne LSS) je bijektívne zobrazenie
   $\small \mathcal {L: A \rightarrow \mathbb R^n}; \; P \rightarrow [p_1,p_2, . . . , p_n],$
   pričom $\small \vec{O P}=p_1\pmb {e_1}+ \cdot \cdot \cdot +p_n\pmb {e_n}$. Pozrite si prácu (str. 8-11) Tu.

Dôkaz korektnosti definície.
Ľubovoľný vektor (teda aj polohový) vektorového priestoru sa dá jednoznačne vyjadriť ako lineárna kombinácia vektorov bázy tohto vektorového priestoru
$\small \vec{O P}=P-O=p_1\pmb {e_1}+ \cdot \cdot \cdot +p_n\pmb {e_n}$.
Z vlastnosti (AP2) vyplýva, že pre bod $\small O$ a vektor $\small \vec{u}=p_1\pmb {e_1}+ \cdot \cdot \cdot +p_n\pmb {e_n}$ existuje práve jeden bod $\small P=O+ \vec{u}$. Preto aj bod $\small P$ vzhľadom na danú afinnú sústavu súradníc sa dá jednoznačne vyjadriť ako kombinácia
$\small P=O+x_1\pmb {e_1}+ \cdot \cdot \cdot +x_n\pmb {e_n}$.
Rovnosť $\small P=O+p_1\pmb {e_1}+ \cdot \cdot \cdot +p_n\pmb {e_n}$ skrátene zapisujeme ako $\small P = [p_1,p_2, . . . , p_n]$ a $\small n$-ticu
$[\small p_1,p_2, . . . , p_n]$
nazývame súradnicami bodu $\small P$. Súradnice bodu budeme zapisovať v hranatých zátvorkách $\pmb{ [\small x_1,x_2, . . . , x_n] }$. Vektor, ktorý určuje lineárna kombinácia $\small P-O=p_1\pmb {e_1}+ \cdot \cdot \cdot +p_n\pmb {e_n}$ sa nazýva polohový vektor $\small \overrightarrow{OP}=P-O$.

Existencia a jednoznačnosť súradníc bodu $\small P$ vyplýva tiež z jednoznačného riešenia rovnice,
$\small \overrightarrow{OP}=P-O=p_1\pmb {e_1}+ \cdot \cdot \cdot +p_n\pmb {e_n}$,
keďže vektory $\small \pmb {e_1} ,\pmb {e_2} , \cdot \cdot \cdot ,\pmb {e_n}$ tvoria bázu vektorového priestoru $\small V$.

Pomenovania.

1. $\small O$ – začiatok súradnicovej sústavy
2. $\small E_i = O + \pmb {e_i}$ – jednotkové body súradnicovej sústavy
3. $\small \overleftrightarrow{OE_i}$ – súradnicové osi

Otvorte si applet Tu.

Cvičenie.
Ukážte, že usporiadaná trojica $\small (\mathcal {A} , V,f)$ je afinný priestor, ak Zistite. či zobrazenie $\small \mathcal {L: A \rightarrow \mathbb R^1}; \; \mathcal {L}( [x_1,x_2])=1+x_1$ je lineárna sústava súradníc.

Riešenie.

1. Ľubovoľný bod $\small X$ afinného priestoru má súradnice $[x,x^2]$. Množina všetkých bodov afinného priestoru $\small (\mathbb {A}$ je parabola (nakreslite graf v GeoGebre).
2. Podmienka (AP1) pre body $\small X[x,x^2],Y[y,y^2],Z[z,z^2]$ zrejme platí, lebo
   $\small f(X,Y)+f(Y,Z)=(x-y)+(y-z)=x-z=f(X,Z)$.

Otvorte si dynamický obrázok Tu. Parabolická valcová plocha Tu.