Interaktívna geomeria

Stredová súmernosť $\rho_{S}$ v rovine $\small \mathbb{E_2}$ je jednoznačne určené stredom súmernosti $\small S$.

Konštrukciu obrazu ľubovoľného bodu $\small X \in \mathbb{E_2}$v stredovej súmernosti $\rho_{S}$ môžeme zhrnúť do dvoch krokov:

1. obrazom bodu $\small S$ je bod $\small S$,
2. obrazom bodu $\small X \neq S$ je bod $\small X'$, pre ktorý platí, že bod $\small S$ je stredom úsečky $\small XX'$.

V predchádzajúcej kapitole sme stredovú súmernosť vyjadrili ako zložené zobrazenie dvoch osových súmerností, ktorých osi sú na seba kolmé. Stredovú súmernosť môžeme vyjadriť aj ako zložené zobrazenie z:

• posunutia $\tau_{-v}$ o vektor $-\vec v =(-s_1,-s_2)$,
• stredovej súmernosti $\small \varrho_{S[0,0]}$,
• posunutia $\tau_{v }$ o vektor $\vec{v} =(s_1,s_2)$.

Posunutie $\tau_{-v}$ o vektor $\vec v =(-s_1,-s_2)$ je určené maticou
$\small \left( \begin{array}{ccc} 1 &0 &0\\ -s_1 &1 &0\\ -s_2 & 0 &1 \end{array} \right)$.
Stredová súmernosť $\small \varrho_{S[0,0]}$ je daná maticou
$\small \left( \begin{array}{ccc} 1 &0 &0\\ 0 &-1 &0\\ 0 & 0 &-1 \end{array} \right)$.
Zrejme posunutie  $\tau_{v }$ o vektor  $\vec v =(s_1,s_2)$ je určené maticou
$\small \left( \begin{array}{ccc} 1 &0 &0\\ s_1 &1 &0\\ s_2 & 0 &1 \end{array} \right)$.
Stredová súmernosť ako zložené zobrazenie je dané súčinom matíc
$\small \left( \begin{array}{ccc} 1 &0 &0\\ s_1 &1 &0\\ s_2 & 0 &1 \end{array} \right) \circ \left( \begin{array}{ccc} 1 &0 &0\\ 0 &-1 &0\\ 0 & 0 &-1 \end{array} \right) \circ. \left( \begin{array}{ccc} 1 &0 &0\\ -s_1 &1 &0\\ -s_2 & 0 &1 \end{array} \right)$.
Postupným prenásobením dostaneme
$\small \left( \begin{array}{ccc} 1 &0 &0\\ s_1 &-1 &0\\ s_2 & 0 &-1 \end{array} \right) \circ \left( \begin{array}{ccc} 1 &0 &0\\ -s_1 &1 &0\\ -s_2 & 0 &1 \end{array} \right)= \left( \begin{array}{ccc} 1 &0 &0\\ 2s_1 &-1 &0\\ 2s_2 & 0 &-1 \end{array} \right)$.

Tvrdenie (Analytické vyjadrenie stredovej súmernosti).
Pre obraz bodu $\small X=[x,y]$ v stredovej súmernosti $\rho_{S}$ platí

(SS) $\small \left( \begin{array}{ccc} 1 \\ x'\\ y' \end{array} \right)= \left( \begin{array}{ccc} 1 &0 &0\\ 2s_1 &-1 &0\\ 2s_2 & 0 &-1 \end{array} \right) \circ \left( \begin{array}{ccc} 1 \\ x\\y \end{array} \right)= \left( \begin{array}{ccc} 1\\ 2s_1 -x\\ 2s_2 -y \end{array} \right)$.

Poznámka - k rozšíreným maticiam.

V tejto kapitole sme použili inú formu zápisu rozšírených matíc. V tomto zápise sa "pomocný riadok" $\small \left( \begin{array}{ccc} 1 &0 &0 \end{array} \right)$ zapisuje ako prvý riadok rozšírenej matice. Operácie s maticami zostávajú nezmenené. V pôvodnom označení by sme predchádzajúce tvrdenie zapísali ako
$\small \left( \begin{array}{ccc} x'\\ y'\\ 1\end{array} \right)= \left( \begin{array}{ccc} -1 & 0 &2s_1 \\ 0 &-1 &2s_2 \\ 0 & 0 &1 \end{array} \right) \circ \left( \begin{array}{ccc} x\\ y\\ 1 \end{array} \right)= \left( \begin{array}{ccc} -x+2s_1 \\ -y+2s_2\\ 1 \end{array} \right)$.