Vybrané kapitoly z aritmetiky a analytickej geometrie

Definícia - sčítanie kardinálnych čísel.
Nech $\small A,B$ sú dve konečné a zároveň disjunktné množiny, ktorých kardinálne čísla sú $\small \text{card} (A), \text{card} (B)$. Pod súčtom týchto kardinálnych čísel budeme rozumieť kardinálne číslo zjednotenia $\small A \cup B$
$\small \text{card} (A)+\text{card} (B) = \text{card}(A \cup B), A \cap B= \emptyset$
V definícii predpokladáme, že množiny $\small A,B$ sú disjunktné.

Ak množiny $\small A,B$ nie sú disjunktné, tak vieme nájsť množiny $\small A,B$, ktoré budú disjunktné a zároveň bude platiť
$\small A \approx A^ \ast , B \approx B^ \ast$.
Potom pod súčtom kardinálnych čísel množín $\small A,B$ budeme rozumieť súčet kardinálnych čísel množín $\small A^ \ast ,B^ \ast$
$\small \text{card} (A)+\text{card} (B) = \text{card}(A^ \ast)+\text{card}(B^ \ast)$ .
Ak má byť definícia súčtu dvoch kardinálnych čísel korektná, tak nemôže závisieť od výberu množín $\small A,B$.

Veta - o súčte kardinálnych čísel.
Nech $\small A,B$ sú množiny, pre ktoré platí $\small A\cap B=\emptyset$ a nech $\small A^\ast,B^\ast$ sú ľubovoľné disjunktné množiny, pre ktoré platí $\small A\approx A^\ast,\ B\approx B^\ast$. Potom platí:
$\small \text{card} (A)+\text{card} (B) = \text{card}(A^ \ast)+\text{card}(B^ \ast)$

Dôkaz.
Stačí ukázať, že existuje bijekcia $\small f:A \cup B \longrightarrow A^\ast \cup B^\ast$:

• množiny $\small A,A^\ast$ sú ekvivalentné, preto existuje bijekcia
  $\small f_1:A \longrightarrow A^\ast$
• podobne pre množiny $\small B,B^\ast$ vieme nájsť bijekciu
  $\small f_2:B \longrightarrow B^\ast$
• definujme zobrazenie $\small f:A\cup B\longrightarrow A^\ast\cup B^\ast$ ako zjednotenie funkcií
  $\small f(x)=\lbrace{f_{1}(x), x \in A}\rbrace \cup \lbrace{f_{2}(x), x \in B}\rbrace$ .
Zobrazenie $\small f(x)$ je zrejme bijekcia.

Cvičenie.
Nech $\small A,B$ sú množiny, pre ktoré platí $\small A=\left\{1,2,3\right\} a B=\left\{3,4\right\}$. Vypočítajte súčet $\small \text{card} (A)+card (B)$.

Riešenie.
Keďže množiny $\small A,B$ nie sú disjunktné, nahraďme napríklad množinu $\small B$ inou ale s ňou ekvivalentnou množinou.
Napríklad $B^\ast=\left\{a,b\right\}$, ktorá obsahuje písmená. Potom už bude platiť
$\small A\cap B^\ast=\emptyset$
a podľa predchádzajúcej vety dostaneme:
$\small \text{card}\left(A\right)+\text{card}\left(B\right)=\text{card}\left(A\cup B^\ast\right)=\text{card}\left(\left\{1,2,3,a,b\right\}\right)=\mathbf{5}$ .

Definícia - súčin kardinálnych čísel.
Nech $\small A,B$ sú dve konečné, ktorých kardinálne čísla sú $\small \text{card} (A), \text{card} (B)$. Pod súčinom týchto kardinálnych čísel budeme rozumieť kardinálne číslo karteziánskeho súčinu $\small A \times B$
$\small \text{card} (A) \cdot \text{card} (B) = \text{card}(A \times B)$.

Veta.
Pre karteziánsky súčin dvoch množín platí komutatívny a asociatívny zákon. To znamená, že násobenie kardinálnych čísel je
komutatívne aj asociatívne
distributívne voči sčítaniu.