Množinová aritmetika

Kardinálne číslo množiny

Definícia - kardinálne číslo.
Každej triede rozkladu \small T_A= \lbrace X \in S:X \approx A \rbrace na systéme \small S všetkých množín priradíme symbol, ktorý nazveme
                                                  kardinálne číslo množiny \small A .
Symboly používané pre kardinálne číslo množiny \small A sú: \text{card}(A) alebo \small \#A , prípadne \small |A| .
S kardinálnymi číslami sa stretávajú už žiaci na ZŠ. Napríklad pomocou nasledujúceho diagramu ukážu žiaci na prvom stupni ZŠ, že počet „krúžkov“ v prvej skupinke je rovný počtu „štvorčekov“ v druhej skupinke.
Spoločnú vlastnosť týchto dvoch skupín neskôr pomenujú slovom tri a na označenie použijú arabskú číslicu 3.
                                                  
Terminológiu teórie množín v zásade nepoužívajú, ale používajú termíny ako skupina, hromada, a pod. Uvedomte si, že grafické spájanie predstavuje prosté zobrazenie z jednej do druhej množiny.
Prirodzené čísla ako kardinálne čísla.
Nech \small S je nekonečná množina a nech \small K je ľubovoľná konečná podmnožina množiny \small S . Potom množina
                                                  \small N= \lbrace{\text{card}(K);K \subset S}\rbrace
je množina prirodzených čísel.
Nasledujúci príklad je z pracovného listu prvý ročník základnej školy hovorí o kardinálnom čísle množiny, ktorá má práve štyri prvky. Žiaci sú nútení abstrahovať od farby a veľkosti jabĺk v skupine. Príklad môže byť modifikovaný rôznymi typmi otázok. Napríklad môžeme sa pýtať, koľko je červených jabĺk a pod. 
Príklad.
Na obrázku sú jablká rôznej farby a veľkosti. Pýtame sa: Koľko jabĺk vidíme na obrázku?
                                  
Odpovedáme: Na obrázku vidíme 4 jablká.
Definícia - kardinálne číslo konečnej a nekonečnej množiny.
  1. Ľubovoľné prirodzené číslo n budeme stotožňovať s kardinálnym číslom n -prvkovej množiny. Teda napríklad \small |\emptyset| = 0, | \lbrace{\emptyset}\rbrace | = 1 , | \lbrace{\emptyset, \lbrace{\emptyset}\rbrace}\rbrace | = 2.
  2. Kardinálne číslo množiny prirodzených čísel budeme označovať \aleph_0 . Kardinálne čísla menšie než \aleph_0 voláme konečné. Kardinálne číslo a voláme nekonečné, ak a \geq \aleph_0 .
  3. Kardinálne číslo potenčnej množiny \small P(N) budeme označovať c . (Toto kardinálne číslo sa niekedy nazýva kardinalita kontinua.)
Poznámka. Pre každé kardinálne číslo platí buď je konečné alebo nekonečné. Na dôkaz tohto tvrdenia potrebujeme axiómu výberu.
\( .\)