Vybrané kapitoly z aritmetiky a analytickej geometrie

Skúmajme triedy tohto rozkladu

Nech $\small N$ je množina prirodzených čísel a $\small P(M)$ jej potenčná množina. Nech $\small R \subset P(N)$ je binárna relácia
            $\small R= \lbrace{ [A,B] \in P(M) \times P(M): A \approx B}\rbrace$ .
Potom rozklad $\small P(M)/R$ bude obsahovať napríklad triedu:

Označenie pre triedy rozkladov

$\overline{ \lbrace{1}\rbrace}, T_1,\overline{ \lbrace{0,1}\rbrace}, T_2,...$ môžeme nahradiť jednoducho symbolmi $1, 2,...,n,...$, čo sú vlastne arabské číslice pre označenie prirodzených čísel.

1. Triedu rozkladu, ktorá prináleží prázdnej množine $\emptyset$ môžeme zapísať v tvare: $T_\emptyset= \lbrace{X \in P(M):X \approx \emptyset}\rbrace$. Zrejme obsahuje len jednu množinu a to je práve prázdna množina. Teda $T_\emptyset= \lbrace{\emptyset}\rbrace$ obsahuje jednu množinu, ktorá má nula prvkov.
2. Triedu rozkladu, ktorá prináleží množine $A= \lbrace{a}\rbrace$ môžeme zapísať v tvare: $T_A= \lbrace{X \in P(M):X \approx \lbrace{a}\rbrace }\rbrace$. Prvkami tejto triedy sú všetky množiny, ktoré majú práve jeden prvok
3. Ak zvolíme konečnú množinu $N_k= \lbrace{n_1,n_2,...,n_k}\rbrace$, tak trieda rozkladu prislúchajúca množine $N_k$ bude obsahovať všetky množiny, ktoré obsahujú práve $k$ prvkov.

Tieto úvahy nás vedú ku konštatovaniu, že všetky množiny v danej triede rozkladu majú rovnaký počet prvkov. To nás oprávňuje zaviesť pojem kardinálneho čísla množiny.