Vybrané kapitoly z aritmetiky a analytickej geometrie

Ústredným pojmom pri množinovom prístupe v aritmetike prirodzených čísel je pojem ekvivalentnosti dvoch množín.

Pri jeho zavedení sa budeme opierať o bijektívne zobrazenie medzi dvoma množinami. Pri konečných množinách si takéto zobrazenie môžeme predstaviť tak, že prvky dvoch množín navzájom pospájame podľa pravidla „jeden len s jedným“. Takéto pravidlo používajú aj deti na prvom stupni ZŠ.

Definícia.
Hovoríme, že množina $\small A$ je ekvivalentná s množinou $\small B$ , ak existuje prosté zobrazenie $\small \varphi$ množiny $\small A$ na množinu $\small B$.
Skutočnosť, že množina $\small A$ je ekvivalentná s množinou $\small B$ budeme zapisovať symbolom $\small A \approx B$. Zobrazenie $\varphi$ je zrejme bijekcia.

Príklad.
Nech $\small M$ je nekonečná množina a $\small P(M)$ jej potenčná množina. Definujme binárnu reláciu $\small R \subset P(M)$ tak, aby
            $\small R= \lbrace{ [A,B] \in P(M) \times P(M): A \approx B}\rbrace$.
Nech $\small M= \lbrace{0,1,2,...,n,...}\rbrace$ je množina prirodzených čísel. Zistite, či táto relácia je symetrická. Vypíšte jej niektoré prvky - dvojice podmnožín.

Riešenie.
Relácia $\small R$ bude obsahovať napríklad dvojice:
            $\small [ \lbrace{0}\rbrace, \lbrace{0}\rbrace], [ \lbrace{0}\rbrace, \lbrace{1}\rbrace], ...,[ \lbrace{0}\rbrace, \lbrace{n}\rbrace], ...$ jednoprvkových podmnožín
            $\small [ \lbrace{0,1}\rbrace, \lbrace{0,2}\rbrace], ...,[\lbrace{0,1}\rbrace,\lbrace{0,n}\rbrace], ...,[ \lbrace{1,2}\rbrace,,\lbrace{1,n}\rbrace], ...$ dvojprvkových podmnožín
             $\small [ \lbrace{0,1,2}\rbrace, \lbrace{0,1,3}\rbrace], ..., [ \lbrace{1,2,3}\rbrace,\lbrace{1,2,,n}\rbrace], ...$ trojprvkových podmnožín atď.