Cvičenia

Riešte nasledujúce úlohy.
  1. Rozhodnite, či sú nasledujúce tvrdenia pravdivé pre ľubovoľné množiny \small A, B,C . Môžete využiť Vennove diagramy.
  1. Operácie zjednotenie aj prienik množín sú komutatívne aj asosiatívne.
  2. \small A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C), A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C) (distributívnosť).
  3. \small ∅ ⊆ A; A ∩ B ⊆ A ⊆ A ∪ B.
  4. \small A - (B ∩ C) = (A - B) ∪ (A - C), A - (B ∪ C) = (A - B) ∩ (A - C).
  5. \small A ∩ B ⊆ C práve vtedy, keď \small A ⊆ C alebo \small B ⊆ C.
  1. Základné vlastnosti karteziánskeho súčinu
  1. \small A × (B ∩ C) = (A × B) ∩ (A × C);
  2. \small A × (B - C) = (A × B) - (A × C).
  1. Kardinálne čísla. Dokážte, že:
  1. Množina všetkých párnych prirodzených čísel je spočítateľná.
  2. Množina všetkých bodov danej úsečky je nespočítateľná.
  3. Ľubovoľná podmnožina spočítateľnej množiny je spočítateľná množina.
  4. Zjednotenie a prienik dvoch spočítateľných množín je spočítateľná množina.
  5. Karteziánsky súčin dvoch spočítateľných množín je tiež spočítateľná množina.
  6. Ukážte, že \small \left| \mathbb{Z} \right| =\aleph_0 . (T.j. nájdite bijekciu medzi množinou celých čísel \small \mathbb{Z} a množinou prirodzených čísel \small \mathbb{N} .)
  7. Ukážete, že platí \aleph_0 \cdot \aleph_0 = \aleph_0 . Dôsledok: množina racionálnych čísle je spočítateľná.
  8. Dokážte, že pre ľubovoľné prirodzené čísla x,y platí:
    1. x \cdot 0 = 0              agresívnosť nuly 
    2. x \cdot y=y \cdot x       komutatívnosť násobenia 
  9. Využite vlastnosti karteziánskeho súčinu alebo matematickú indukciu.
  1. Riešte úlohy:
  1. Pomocou matematickej indukcie dokážte, že pre všetky prirodzené čísla n \geq1 platí:
    1. 1^3+2^3+...+n^3= \frac{1}{4} n^2 (n+1)^2
    2. 3^{3n}-3.2^{2n+3} je násobkom čísla 23.
  2. Doplňte miesto hviezdičiek číslice tak, aby výsledok bol správny: 8*06 – 78*8 = **8* .
  3. Nájdite v desiatkovej číselnej sústave trojciferné číslo LIK. (L,I,K) - sú cifry tohto čísla, pre ktorého druhú mocninu platí: (LIK)^2=BUBLIK .\).
  4. V dvojcifernom čísle je jedna číslica väčšia do druhej o 1. Súčet druhých mocnín tohto čísla a čísla napísaného tými istými číslicami v obrátenom poradí je 1 553. Určte takéto dvojciferné číslo. [Cirjak, M. : Tvorivosť v matematike, str. 82].
  1. Vennove diagramy:
  1. Množinové operácie a ich reprezentácia. Zadané množiny:
    A = {1, 2, 3, 4}, B = {3, 4, 5, 6}, C = {4, 5, 6, 7}.
    Úlohy:
    a) Znázornite na Vennovom diagrame prieniky, zjednotenia a rozdiely medzi množinami A, B a C.
    b) Vyjadrite algebraicky operácie: \small  A ∩ (B ∪ C), (A ∖ B)∪ C (A \setminus B) \cup C , a interpretujte výsledky na diagrame.
  2. Predstavte si, že študenti v triede majú rôzne záujmy.
    Úloha:
    • Množina A: Študenti, ktorí čítajú knihy (35 študentov).
    • Množina B: Študenti, ktorí sledujú filmy (50 študentov).
    • Prienik A ∩ B: Študenti, ktorí robia obe aktivity (20 študentov).

    Znázornite situáciu pomocou Vennovho diagramu a odpovedzte:
    a) Koľko študentov číta knihy, ale nesleduje filmy?
    b) Koľko študentov sa nezapája ani do jednej z aktivít, ak je celkový počet študentov 80?

  3.  Overovanie výrokov cez Vennov diagram
    Úloha: Vyjadrite a overte nasledujúce logické výroky pomocou Vennových diagramov:
    a) Ak je \small A ⊆ B , tak platí \small A \cap B = A .
    b) Ak \small A \cap B = ∅ , tak \small A \cup B = A + B (množiny sú disjunktné).
    Načrtnite vhodné diagramy a vysvetlite, prečo tieto výroky platia alebo neplatia.
  4. Práca s reálnymi dátami

    Úloha: Z nasledujúcich údajov o preferenciách jedál v skupine študentov:

    • 40 študentov má rado pizzu,
    • 30 má rado cestoviny,
    • 20 má rado oboje,
    • Celkovo je 60 študentov.

    a) Znázornite situáciu na Vennovom diagrame.
    b) Koľko študentov nemá rado ani pizzu, ani cestoviny?
    c) Koľko študentov má rado iba jedno z týchto jedál?

  5. Slovné úlohy

    Úloha: Na univerzite si študenti mohli zapísať tri kurzy:

    • Kurz matematiky (M),
    • Kurz fyziky (F),
    • Kurz informatiky (I).

    Počet študentov v jednotlivých množinách je:

    • M: 50, F: 40, I: 30,
    • M ∩ F: 20, M ∩ I: 15, F ∩ I: 10,
    • M ∩ F ∩ I: 5.

    a) Koľko študentov si zapísalo aspoň jeden kurz?
    b) Koľko študentov si zapísalo iba matematiku?
    c) Znázornite všetky vzťahy pomocou trojitého Vennovho diagramu.

  6. .
\( .\)