Východiská

Usporiadaná dvojica

V ZFC axiomatickej teórii vieme dokázať tvrdenia, pričom môžeme používať iba logické spojky, kvantifikátory, premenné. Prakticky vieme dokázať všetko, čo sa študuje v modernej matematike. Pri budovaní číselných oborov je veľmi frekventovaným pojmom usporiadaná dvojica. V rámci ZFC tento pojem ľahko zadefinujeme pomocou použitím axiómy dvojice a zjednotenia množín.
Usporiadaná dvojica.
Nech a, b sú množiny. Potom množinu
(a, b) := \lbrace{{a}, \lbrace{a, b}\rbrace }\rbrace
nazývame usporiadanou dvojicou množín a a b .
Všimnime si, že že pre ľubovoľné množiny a, b,c, d platí
Tvrdenie.
(a, b) = (c, d) ⇔ a = c ∧ b = d .
[Dokážte toto tvrdenie ako cvičenie.]
Existencia usporiadanej dvojice spolu s predchádzajúcim tvrdením, nám umožňuje pracovať s binárnymi reláciami vhodne definovanými na karteziánskom súčine nejakej číselnej množine.

Napríklad, ak chceme zaviesť celé čísla pomocou množiny z prirodzených čísel tak stačí zaviesť reláciu ekvivalencie na N × N:
(a, b) ∼ (c, d) ⇔ a + d = b + c .
Takto zavedená relácia je reláciou ekvivalencie. Ako neskôr uvidíme triedy ekvivalencie budú celými číslami.
\( .\)