Operácie s množinami

Karteziánsky súčin

Pojem karteziánskeho súčinu dvoch množín je definovaný pomocou usporiadaných dvojíc prvkov.
Ak zoberieme dva prvky x a y , tak množinu obsahujúcu práve tieto dva prvky môžeme zapísať viacerými spôsobmi: \lbrace{x,y}\rbrace =\lbrace{y,x}\rbrace = \lbrace{x, x,y }\rbrace . Inak povedané, pri množinách nezáleží na poradí v akom uvedieme prvky množiny. A takisto ani na tom, či ich spomenieme viackrát.
Definícia.
Usporiadanú dvojicu pozostávajúcu z prvkov a, b budeme označovať (a, b) . Dve usporiadané dvojice budeme považovať za rovnaké, ak sa zhodujú ich prvé aj druhé súradnice, t.j.,
(a, b) = (c, d) ⇔ a = c ∧ b = d.

Treba zdôrazniť, že sme uviedli definíciu usporiadanej dvojice v naivnej teórii množín. Pre účely školskej matematiky je však postačujúce, že dokážeme určiť, kedy sú dve usporiadané dvojice rovnaké. Je zrejmé, že uvedený princíp možno jednoducho rozšíriť na konečný počet množín.

Pomocou pojmu usporiadanej dvojice (pozri definíciu v časti Usporiadaná dvojica) môžeme definovať karteziánsky súčin dvoch množín.
Definícia - Karteziánsky súčin.
Karteziánsky súčin množín \small A a \small B je množina, ktorej prvkami sú práve také usporiadané dvojice, kde prvý prvok patrí do množiny \small A a druhý prvok patrí do množiny \small B. Túto množinu označujeme
\small A × B := \lbrace{\normalsize (a, b); a ∈ \small A, \normalsize b ∈ \small B}\rbrace .
Uvedieme niektoré základné vlastnosti karteziánskeho súčinu. Dôkazy ponecháme ako cvičenie.
Tvrdenie.
Nech \small A,B,C,D sú množiny. Potom platí
  1. \small A × ∅ = ∅ × A = ∅;
  2. \small A × (B ∪ C) = (A × B) ∪ (A × C);
  3. \small A × (B ∩ C) = (A × B) ∩ (A × C).
\( .\)