Operácie s množinami

Podmnožiny

V Cantorovej teórii množín je základnou a zároveň ústrednou vlastnosťou je rovnosť množín a definícii podmnožiny.
Definícia.
Hovoríme, že množiny \small A a \small B sa rovnajú ak x \in \small A platí práve vtedy, keď x \in \small B.
\small A = B \stackrel{def}{ \Leftrightarrow} ( \forall \normalsize z)(\normalsize z \in \small A \Leftrightarrow \normalsize z \in \small B)
Definícia.
Ak \small A, B sú množiny, tak hovoríme, že \small A je podmnožinou \small B, ak každý prvok množiny \small A je prvkom množiny \small B. Tento fakt označíme \small A \subset B.
\small A \subset B \stackrel{def}{ \Leftrightarrow} ( \forall \normalsize z)(\normalsize z \in \small A \Rightarrow  \normalsize z \in \small B)
V teoretickej aritmetike dôležitú úlohu zohráva potenčná množina, ktorá obsahuje všetky podmnožiny danej množiny. Teda aj množinu, ktorá neobsahuje žiadny prvok. Takúto množinu budeme nazývať prázdna množina a označovať symbolom  \emptyset . 
Definícia.
Množinu všetkých podmnožín množiny \small A nazývame potenčná množina a označujeme \small P(A).
\small P(A)= \lbrace{B;B \subseteq A }\rbrace
Nasledujúce tvrdenie popisuje základné vlastnosti "byť podmnožinou".
Tvrdenie.
Nech \small A, B, C sú ľubovoľné množiny. Potom platí:
  1. Pre každú množinu platí \small A \subseteq A .
  2. \small A = B práve vtedy, keď \small A \subseteq B ∧ B \subseteq A .
  3. Ak platí \small A \subseteq B a \small B \subseteq C , tak \small A \subseteq C .
\( .\)