Interaktívna geomeria

Osová súmernosť ako afinné zhodnostné zobrazenie. 

Z kurzu Planimetria vieme, že osová súmernosť je jednoznačne určená osou súmernosti a dvojicou odpovedajúcich bodov. Ak si zvolíme dva rôzne body na osi súmernosti, tak osovú súmernosť môžeme jednoznačne určiť dvomi Samodružnými bodmi a jednou dvojicou odpovedajúcich si bodov. Túto vlastnosť neskôr výhodne využijeme pri hľadaní transformačných rovníc osovej súmernosti.

Osová súmernosť - ukážka.

1. Na určenie transformačných rovníc osovej súmernosti určenej osou súmernosti $\small o: \; ax+by+c=0$ budeme potrebovať obrazy troch rôznych bodov a ich obrazy v danej osovej súmernosti.
   Najvýhodnejšie bude ak si zvolíme dva rôzne samodružné body a nejaký tretí bod tak, aby všetky tri boli nekolineárne. Takými bodmi pri takto danej osi súmernosti sú napríklad
   1. Dva body na osi súmernosti $o: \; ax+by+c=0, \;a,b \neq 0$, pre ktoré platí $\small A=[0,\frac{-c}{b}]$ a $\small B=[\frac{-c}{a},0]$, prípad ak jeden z koeficientov $\small a,b$ je rovný nule sa rieši zvlášť.
   bodu
   2. Tretí bod nech je počiatok súradnej sústavy $\small O=[0,0]$. Súradnice $p,q$ jeho obrazu $\small O'=[p,q]$ určíme napríklad pomocou bodu $\small X_0[x_0,y_0]$. Tento bod je spoločným bodom danej priamky $o: \; ax+by+c=0$ a kolmice $k_o: \; -ax+by=0$. Pre jeho súradnice platí:
      $x_0=\frac{-ac}{a^2+b^2}; \; y_0=\frac{-bc}{a^2+b^2}$.
      
      Obraz počiatku súradnej sústavy v osovej súmernosti.
      Vektor $\small \overrightarrow{OO'}$ je $2-$ násobkom vektora $\small \overrightarrow{OX_0}$. Odkiaľ dostávame súradnice obrazu počiatku v osovej súmernosti:
      $p=\frac{-2ac}{a^2+b^2}; \; q=\frac{-2bc}{a^2+b^2}$.
2. Potom dosadíme súradnice obrazov $\small O'=[p,q],A=A'=[0,\frac{-c}{b}],B=B'=[\frac{-c}{a},0]$ do vzťahov
   $\small X = rA+sB+tO \\ X'=rA+sB+tO'$ pričom musí platiť
   $\small r+s+t=1$.
   Dostaneme maticovú rovnicu v tvare $\small M'_{Obrazov} \times M^{-1}_{Vzorov} =M_{Transfor}$. (pozrite tiež príklad " Tri body" v kapitole Afinné zobrazenie) a využitím Matrix calculator dostaneme
   
   $\left(\begin{matrix} \frac{-c}{a} & 0 & \frac{-2ac}{a^2+b^2} \\ 0 & \frac{-c}{b} & \frac{-2bc}{a^2+b^2} \\ 1 & 1 & 1 \end{matrix}\right)$.$\left(\begin{matrix} \frac{-a}{c} & 0 & 0 \\ 0 & \frac{-b}{c} & 0 \\ \frac{a}{c} & \frac{b}{c} & 1 \end{matrix}\right)$=$\left(\begin{matrix} \frac{-a^2+b^2}{a^2+b^2} & \frac{-2ab}{a^2+b^2} & \frac{-2ac}{a^2+b^2} \\ \frac{-2ab}{a^2+b^2} & \frac{a^2-b^2}{a^2+b^2} & \frac{-2bc}{a^2+b^2} \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix}\right),$
   odkiaľ už ľahko určíme hľadané transformačné rovnice.

Tvrdenie (Obraz bodu v osovej súmernosti $\sigma (o)$).
Transformačné rovnice pre osovú súmernosť určenú osou súmernosti $o: \; ax+by+c=0, \;a,b \neq 0$:

(OS) $\begin{array}{} x'=\left( -\frac{a^2-b^2}{a^2+b^2} \right) x\;-\;\;\left( \frac{2ab}{a^2+b^2} \right) y-\frac{2ac}{a^2+b^2} , \\ y'=\left(-\frac{2ab}{a^2+b^2} \right) x\;\;\;+\left( \frac{a^2-b^2}{a^2+b^2} \right)y-\frac{2bc}{a^2+b^2} \end{array}.$

Cvičenie.
Určte analytické vyjadrenie osovej súmernosti určenej osou $\small o$, ktorá je určená rovnicou $\small o: \; x+2y-2=0$.

Riešenie.
Po určení $\small O'=[\frac{4}{5},\frac{8}{5}]$ a priesečníkov so súradnými osami $\small A'=[0,1],B'=[2,0]$ a dostaneme pre maticu vzorov a maticu obrazov
$\small M_{Vzorov}=\left(\begin{matrix} 0 & 2 & 0 \\ 1 & -0 & 0 \\ 1 & 1 & 1 \end{matrix}\right)$; $\small M^{-1}_{Vzorov} \left(\begin{matrix} 0 & 1 & 0 \\ \frac{1}{2} & 0 & 0 \\ \frac{-1}{2} & -1 & 1 \end{matrix}\right)$; $M'_{Obrazov}=\small \left(\begin{matrix} 0 & 2 & \frac{4}{5} \\ 1 & -0 & \frac{8}{5} \\ 1 & 1 & 1 \end{matrix}\right)$
odkiaľ
$\small\left(\begin{matrix} 0 & 2 & \frac{4}{5} \\ 1 & -0 & \frac{8}{5} \\ 1 & 1 & 1 \end{matrix}\right) \times \left(\begin{matrix} 0 & 1 & 0 \\ \frac{1}{2} & 0 & 0 \\ \frac{-1}{2} & -1 & 1 \end{matrix}\right)= \left(\begin{matrix} \frac{3}{5} & \frac{-4}{5} & \frac{4}{5} \\ \frac{-4}{5} & \frac{-3}{5} & \frac{8}{5} \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix}\right),$
čo predstavuje transformačné rovnice pre skúmanú osovú súmernosť
$x'= \;\;\frac{3}{5} x-\; \frac{4}{5} y+\frac{4}{5}\\\\ y'=-\frac{4}{5} x-\;\frac{3}{5} y+\frac{8}{5}$.

Osová súmernosť je oproti ostatným zhodným zobrazeniam niečím výnimočná. Má zaujímavú vlastnosť, skladaním osových súmerností sa dajú získať všetky zhodné zobrazenia v rovine.

Skladanie osových súmerností - applet Tu.

V applete "Skladanie osových súmerností" sú osi súmerností navzájom kolmé. Preto ich zložením bude stredová súmernosť so stredom $\small S=o \cap \sigma$. Matica zloženého zobrazenia $\small M_{o \times \sigma}=M_\sigma \times M_o$ je súčinom transformačnej matice osovej súmernosti $\small M_o$ a transformačnej matice osovej súmernosti $\small M_\sigma$.
Ak označíme súradnice stredu $\small S=o \cap \sigma$ ako $\small S=[s_1,s_2]$, tak rozšírená matica stredovej súmernosti bude mať tvar kde $\small p=2s_1,q=2s_2$ sú súradnice obrazu počiatku v skúmanej stredovej súmernosti. V nasledujúcej kapitole dokážeme túto vlastnosť pomocou skladania posunutia a stredovej súmernosti so stredom v pčiatku súradnej sústavy.
Presvedčte sa že hodnoty $p,q$ sa nemenia pri zmene polohy osí súmerností za predpokladu, že kolmosť je invariantná voči zmene polohy. Nastavte osi súmernosti tak, aby $o=x \vee \sigma=y$.