Afinná geometria
Analytické vyjadrenie
Obraz troch bodov
Nech je daná
- tica bodov
v euklidovskom priestore
taká, že
- tica vektorov
so zamerania
je nezávislá. V tomto prípade sústava
tvorí repér tohto priestoru. Takejto
- tici bodov budeme hovoriť, že je lineárne nezávislá.
Vo vete "Jednoznačnosť afinného zobrazenia" sme dokázali, že afinné zobrazenie
je jednoznačne určené obrazmi
lineárne nezávislých bodov euklidovského priestoru
.Dôkaz tohto tvrdenia nájdete aj v práci [Chalmoviansky, 2022].
V ďalšej časti sa zameriame na určenie transformačných rovníc afinného zobrazenia v euklidovskej rovine
, v ktorom sú dané dve trojice odpovedajúcich nekolineárnych bodov. Začneme trojicami, ktoré vyhovujú rovnoľahlosti, čo nám uľahčí kontrolu správnosti určenia transformačných rovníc.
![\small (n+1) \small (n+1)](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/27bfd9077956c93ffacdb21a16032846.png)
![\small A,A_1,...,A_n \small A,A_1,...,A_n](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/af9c22f8666911fa32278bdd93e3d07f.png)
![\small \mathbb E_n \small \mathbb E_n](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/135b38d4e994a3c7d1d02997bec2c8f4.png)
![\small (n) \small (n)](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/c1577cd78584d9b3a3c91ed05233e83e.png)
![\small \vec a_1=A_1-A,...,\vec a_n=A_n-A \small \vec a_1=A_1-A,...,\vec a_n=A_n-A](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/43d7ba330e1436c0f9745413bca06baf.png)
![\small V_n(\mathbb R) \small V_n(\mathbb R)](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/afa832f6e8f27f70c1d75f9b229b8a16.png)
![\small \mathcal R = \lbrace A; \vec a_1, \vec a_2, . . . , \vec a_n \rbrace \small \mathcal R = \lbrace A; \vec a_1, \vec a_2, . . . , \vec a_n \rbrace](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/810470658f1b88fc4053a3b0ba884662.png)
![\small (n+1) \small (n+1)](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/27bfd9077956c93ffacdb21a16032846.png)
Vo vete "Jednoznačnosť afinného zobrazenia" sme dokázali, že afinné zobrazenie
![\small f : \mathbb E_n \rightarrow \mathbb E_m \small f : \mathbb E_n \rightarrow \mathbb E_m](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/66df4fcf974a0e62a305016324868252.png)
![\small n + 1 \small n + 1](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/34d563ec9a611b65ff4f3dc8ce59c851.png)
![\small \mathbb E_n \small \mathbb E_n](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/135b38d4e994a3c7d1d02997bec2c8f4.png)
V ďalšej časti sa zameriame na určenie transformačných rovníc afinného zobrazenia v euklidovskej rovine
![\small \mathbb E_2 \small \mathbb E_2](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/6361000451a13c2ea0a255acc82f85ff.png)
Riešenie (riešenie pomocou programu GeoGebra
Tu).
Pre bod
v rovine
platí, že je lineárnou kombináciou bodov
,
preto platí
, pričom
.
V kapitole "Afinné zobrazenie" sme ukázali, že transformačné rovnice afinného zobrazenia v euklidovskom priestore
majú tvar
,
kde
sú súradnice obrazov vektorov bázy
a súradnice obrazu začiatku repéra
. Dosaďme súradnice
bodov
do týchto transformačných rovníc. Po úprave dostaneme dve rovnice o 6 neznámych
. Konkrétne to budú rovnice
Postupne ak dosadíme súradnice ďalších bodov
dostaneme ďalšie 4 rovnice.
Spolu je to sústava 6 lineárnych rovníc, ktorá vzhľadom na zadanie (nekolineárne body) bude mať práve jedno riešenie. Vypíšte všetkých 6 rovníc a potom vyriešte túto sústavu.
Pre bod
![\small X \small X](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/577f3a2270ae2d5475b8149d80b9ff87.png)
![\small \mathbb E_2 \small \mathbb E_2](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/6361000451a13c2ea0a255acc82f85ff.png)
![\small A(-1,-2) ;B(\frac{3}{2},-\frac{3}{2});C(-3,0) \small A(-1,-2) ;B(\frac{3}{2},-\frac{3}{2});C(-3,0)](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/0936b7cf82dfa704a8722ba417a04e3a.png)
![\small X=a(-1,-2)+b(\frac{3}{2},-\frac{3}{2})+c(-3,0) \small X=a(-1,-2)+b(\frac{3}{2},-\frac{3}{2})+c(-3,0)](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/ef676a4c1eb368f1d4c2c08a40694254.png)
![\small a+b+c=1 \small a+b+c=1](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/31d06e2919883d2729414fe8bdab5a21.png)
V kapitole "Afinné zobrazenie" sme ukázali, že transformačné rovnice afinného zobrazenia v euklidovskom priestore
![\small \mathbb E_2 \small \mathbb E_2](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/7500ca3ad9b84205ea31dbb85787e123.png)
![\small x'=a \cdot x+c \cdot y+p \\ \small y'=b \cdot x+d \cdot y+q \small x'=a \cdot x+c \cdot y+p \\ \small y'=b \cdot x+d \cdot y+q](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/7cc84e61d9618d316b97f0b475f1fba8.png)
kde
![\small a,b,c,d,p,q \small a,b,c,d,p,q](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/a82186bbdb58f9df1ff6a2a29fd8c9a8.png)
![\small a,b,c,d \small a,b,c,d](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/e28b804d467c29ea9ccaecbeaeb8bd58.png)
![\small p,q \small p,q](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/da828129113d767cc6b9aa662f213978.png)
![\small A, A' \small A, A'](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/13ed7f09ad354ccd2fe457f35ea22ec5.png)
![\small a,b,c,d,p,q \small a,b,c,d,p,q](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/a82186bbdb58f9df1ff6a2a29fd8c9a8.png)
![\small 4 =-1 a-2 c+p \\ \small 2 =-1b-2 d+q. \small 4 =-1 a-2 c+p \\ \small 2 =-1b-2 d+q.](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/092e68671926394b3cb164298a1d1a6b.png)
Postupne ak dosadíme súradnice ďalších bodov
![\small B, B',C,C' \small B, B',C,C'](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/0f6e31108ef539f47b5fe91cb380c0d3.png)
![\small \frac{11}{4} =\frac{3}{2}a-\frac{3}{2}c+p \small \frac{11}{4} =\frac{3}{2}a-\frac{3}{2}c+p](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/9fab8b413f7060aec932260a91785858.png)
![\small -\frac{1}{2}=\frac{3}{2}b-\frac{3}{2} d+q \small -\frac{1}{2}=\frac{3}{2}b-\frac{3}{2} d+q](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/d64d6b19301c45de2788e8df9a25a66f.png)
![\small 2 =-3 a+0 c+p \\ \small 4 =-3b+0 d+q. \small 2 =-3 a+0 c+p \\ \small 4 =-3b+0 d+q.](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/5dc71cf52b4a0cc94fa05a271cf4ffd3.png)
Spolu je to sústava 6 lineárnych rovníc, ktorá vzhľadom na zadanie (nekolineárne body) bude mať práve jedno riešenie. Vypíšte všetkých 6 rovníc a potom vyriešte túto sústavu.
Poznámka.
Nájsť riešenie takejto sústavy je časovo dosť náročná práca, ktorá študentov nemotivuje a navyše ich odpúta od podstaty úlohy– nájsť transformačné rovnice.
Preto s výhodou môžeme použiť nástroje programu GeoGebra (alebo iných softvérov, napr. Matrix). Pomocou GeoGebra vzhľadu "Tabuľka" najskôr „vygenerujeme“ maticu sústavy 6 rovníc so 6 neznámymi s pravou stranou. Do jednotlivých polí v „Tabuľke“ vložíme súradnice bodov pomocou príkazov:
, kde
je názov bodu, ktorého súadnice vkladáme.
Z tabuľky vidieť, že napr. do poľa „A2“ je vložený príkaz
, ktorý predstavuje prvú súradnicu bodu
.
Tabuľka má ďalšiu veľkú výhodu: Vstupné pole „A2“ je aktívne voči zmene polohy bodu
. Ak sa poloha bodu
zmení, tak sa automaticky zmení aj
príslušné polia tabuľky
. Analogicky sa aktualizujú aj zvyšné polia tabuľky. Dynamické vstupy nám teda umožnia aktualizovať maticu
sústavy 6 rovníc aj s pravou stranou. Je to matica typu 6×7 s rozsahom je
.
Riešenie danej sústavy 6 rovníc so 6 neznámymi s pravou stranou môžeme nájsť pomocou maticového počtu, ktorý je tiež k dispozícii v GeoGebre.
Výsledok.
Transformačné rovnice skúmaného afinného zobrazenia sú prezentované na ďalšom obrázku v ľavej časti obrázka.
Matica zobrazenia Nájsť riešenie takejto sústavy je časovo dosť náročná práca, ktorá študentov nemotivuje a navyše ich odpúta od podstaty úlohy– nájsť transformačné rovnice.
Preto s výhodou môžeme použiť nástroje programu GeoGebra (alebo iných softvérov, napr. Matrix). Pomocou GeoGebra vzhľadu "Tabuľka" najskôr „vygenerujeme“ maticu sústavy 6 rovníc so 6 neznámymi s pravou stranou. Do jednotlivých polí v „Tabuľke“ vložíme súradnice bodov pomocou príkazov:
![\small =x(M), y(M) \small =x(M), y(M)](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/d647892be4f4f8ea63e75f7e9e32caa2.png)
![\small M \small M](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/1a9e637e1c6572a0043896114844bb06.png)
Z tabuľky vidieť, že napr. do poľa „A2“ je vložený príkaz
![\small „=x(A)“ \small „=x(A)“](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/af25d094b549eca3d98a030a37100604.png)
![\small A \small A](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/fd8debb3b3e403c157b2967da208a506.png)
![\small A \small A](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/fd8debb3b3e403c157b2967da208a506.png)
![\small A \small A](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/fd8debb3b3e403c157b2967da208a506.png)
![\small „=x(A)“, "=y(A)“ \small „=x(A)“, "=y(A)“](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/356579cadadcd032c2ca684c305b41e3.png)
![\small (A2 ... G7) \small (A2 ... G7)](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/63d0aeca5e77d242b55d81e224447b94.png)
Riešenie danej sústavy 6 rovníc so 6 neznámymi s pravou stranou môžeme nájsť pomocou maticového počtu, ktorý je tiež k dispozícii v GeoGebre.
Výsledok.
![\small
\left(\begin{matrix}
a \\
b \\
c \\
d \\
p \\
q
\end{matrix}\right)=
\left(\begin{matrix}
-0,25 \\
-1 \\
-1,25\\
0 \\
1,25\\
1
\end{matrix}\right) \small
\left(\begin{matrix}
a \\
b \\
c \\
d \\
p \\
q
\end{matrix}\right)=
\left(\begin{matrix}
-0,25 \\
-1 \\
-1,25\\
0 \\
1,25\\
1
\end{matrix}\right)](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/45c9215f0df2eaade3075d2b4e3686eb.png)
Transformačné rovnice skúmaného afinného zobrazenia sú prezentované na ďalšom obrázku v ľavej časti obrázka.
![\small f \small f](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/b7e2adc3735eb412c4b578ef9ed44270.png)
![\small \mathcal A= \left( \begin{array}{} -\frac{1}{4} & -\frac{5}{4} \\ -1 & \;\;0 \\ \end{array} \right) \small \mathcal A= \left( \begin{array}{} -\frac{1}{4} & -\frac{5}{4} \\ -1 & \;\;0 \\ \end{array} \right)](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/be8722d56a75e344d8bdb477f168b880.png)