Interaktívna geomeria

V tejto podkapitole rozvíjame praktický aspekt afinného zobrazenia, konkrétne jeho určenie pomocou obrazov troch lineárne nezávislých bodov. Ide o aplikáciu vety o jednoznačnosti afinného zobrazenia.

Nech je daná $\small (n+1)$ - tica bodov $\small A,A_1,...,A_n$ v euklidovskom priestore $\small \mathbb E_n$ taká, že $\small (n)$ - tica vektorov $\small \vec a_1=A_1-A,...,\vec a_n=A_n-A$ so zamerania $\small V_n(\mathbb R)$ je nezávislá. V tomto prípade sústava $\small \mathcal R = \lbrace A; \vec a_1, \vec a_2, . . . , \vec a_n \rbrace$ tvorí repér tohto priestoru. Takejto $\small (n+1)$ - tici bodov budeme hovoriť, že je lineárne nezávislá.

Vo vete "Jednoznačnosť afinného zobrazenia" sme dokázali, že afinné zobrazenie $\small f : \mathbb E_n \rightarrow \mathbb E_m$ je jednoznačne určené obrazmi $\small n + 1$ lineárne nezávislých bodov euklidovského priestoru $\small \mathbb E_n$.Dôkaz tohto tvrdenia nájdete aj v práci [Chalmoviansky, 2022].
V ďalšej časti sa zameriame na určenie transformačných rovníc afinného zobrazenia v euklidovskej rovine $\small \mathbb E_2$, v ktorom sú dané dve trojice odpovedajúcich nekolineárnych bodov. Začneme trojicami, ktoré vyhovujú rovnoľahlosti, čo nám uľahčí kontrolu správnosti určenia transformačných rovníc.

Cvičenie.
Určte transformačné rovnice afinného zobrazenia $\small f:\mathbb E_2 \rightarrow \mathbb E_2$, v ktorom
$\small A(-1,-2) \rightarrow A'(4,2);\; \;B(\frac{3}{2},-\frac{3}{2}) \rightarrow B'(\frac{11}{4},-\frac{1}{2}),\; \;C(-3,0) \rightarrow C'(2,4)$.

Riešenie.
Riešenie pomocou rozšírených matíc sme popísali v predchádzajúcich kapitolách. Teraz pre úplnosť ukážeme aj riešenie, v ktorom sa budeme opierať o sústavu 6 rovníc o 6 neznámych. Takéto riešenie je však technicky náročnejšie a dosť nepraktické.

Pre bod $\small X$ v rovine $\small \mathbb E_2$ platí, že je lineárnou kombináciou bodov $\small A(-1,-2) ;B(\frac{3}{2},-\frac{3}{2});C(-3,0)$, preto platí
$\small X=a(-1,-2)+b(\frac{3}{2},-\frac{3}{2})+c(-3,0)$, pričom $\small a+b+c=1.$
V kapitole "Afinné zobrazenie" sme ukázali, že transformačné rovnice afinného zobrazenia v euklidovskom priestore $\small \mathbb E_2$ majú tvar
$\small x'=a \cdot x+c \cdot y+p \\ \small y'=b \cdot x+d \cdot y+q,$
kde $\small a,b,c,d,p,q$ sú súradnice obrazov vektorov bázy $\small a,b,c,d$ a súradnice obrazu začiatku repéra $\small p,q$. Dosaďme súradnice bodov $\small A, A'$ do týchto transformačných rovníc. Po úprave dostaneme dve rovnice o 6 neznámych $\small a,b,c,d,p,q$. Konkrétne to budú rovnice
$\small 4 =-1 a-2 c+p \\ \small 2 =-1b-2 d+q.$
Postupne ak dosadíme súradnice ďalších bodov $\small B, B',C,C'$ dostaneme ďalšie 4 rovnice.
$\small \frac{11}{4} =\frac{3}{2}a-\frac{3}{2}c+p$
$\small -\frac{1}{2}=\frac{3}{2}b-\frac{3}{2} d+q$

$\small 2 =-3 a+0 c+p \\ \small 4 =-3b+0 d+q.$
Spolu je to sústava 6 lineárnych rovníc, ktorá vzhľadom na zadanie (nekolineárne body) bude mať práve jedno riešenie. Vypíšte všetkých 6 rovníc a potom vyriešte túto sústavu.

Vzhľadom na to, že poznáme obrazy troch lineárne nezávislých bodov, môžeme ľubovoľný bod roviny vyjadriť ako afinnú kombináciu týchto bodov. Následne aplikujeme rovnakú kombináciu na ich obrazy, čím získame obraz daného bodu v afinnom zobrazení. Tento prístup je didakticky výhodný, pretože umožňuje jasne sledovať závislosť výpočtu od barycentrických súradníc a zároveň vedie k elegantnému vyjadreniu výsledku prostredníctvom maticového počtu – ten je navyše podporený aj v prostredí GeoGebry.
Riešenie danej sústavy 6 rovníc so 6 neznámymi s pravou stranou pomocou GeoGebry:
Výsledok. $\small \left(\begin{matrix} a \\ b \\ c \\ d \\ p \\ q \end{matrix}\right)= \left(\begin{matrix} -0,25 \\ -1 \\ -1,25\\ 0 \\ 1,25\\ 1 \end{matrix}\right)$
Transformačné rovnice skúmaného afinného zobrazenia sú prezentované na ďalšom obrázku v ľavej časti obrázka.

Odkaz na applet Osová afinita: https://www.geogebra.org/m/tkb6f32y.

Matica zobrazenia $\small f$ v tomto príklade má tvar $\small \mathcal A= \left( \begin{array}{} -\frac{1}{4} & -\frac{5}{4} \\ -1 & \;\;0 \\ \end{array} \right)$, čo predstavuje osovú afinitu.

Cvičenie - nájdite chybu.
Pozrite si geometrický spôsob riešenia podobnej úlohy, v ktorom sa využíva program GeoGebra. Otvorte si interaktívnu konštrukciu Tu.
V tejto konštrukcii je nesprávne zadaná hodnota v matici vzorov. Nájdite túto zle zadanú hodnotu a opravte ju.