Afinná geometria
Euklidovský priestor
Deliaci pomer
Definícia (Deliaci pomer bodov).
Nech
a
sú tri kolineárne body. Deliacim pomerom bodov
(v tomto poradí) nazývame reálne
číslo
také, že
. Budeme ho označovať
.
Nech
![\small A, B \in \mathbb E_n \small A, B \in \mathbb E_n](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/e5fcfce96afa51c472600db2459101d0.png)
![\small C \neq B \small C \neq B](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/e45d54360b33ff40b14b217ff6bc28c2.png)
![\small A, B,C \small A, B,C](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/3862c52d1e30fdd8d3158e436603e352.png)
![\small \lambda \small \lambda](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/60c6401915aaa88044a14be59dab6b50.png)
![\small (C-A) = \lambda (C-B) \small (C-A) = \lambda (C-B)](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/1c7fdd9df51a6c1f951628b1dddab107.png)
![\small (ABC) \small (ABC)](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/2f22c1b6066d5e7539507541df54f72c.png)
Riešenie.
-
Najskôr je nutné zistiť, či body
sú kolineárne. Pre deliaci pomer
musí platiť:
()
.
Potom môžeme spočítať
.
Po dosadení do vzťahu () dostaneme
.
- Najskôr určte súradnice priesečníka
priamky
a roviny
. Rovnica priamky
je daná parametricky
Po dosadení do všeobecnej rovnice rovinyurčíme riešenie
. Spoločný bod
má súradnice
.
- Najskôr určte súradnice bodov
.
Nasledujúce obrázky dokumentujú vzťah deliaceho pomeru pre pevne zvolené body
a premenlivý bod
. Tento vzťah predstavuje hyperbolickú funkciu.
![\small A,B \small A,B](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/2a729adebe617741bcaf3119525e753d.png)
![\small C \small C](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/b7d958da4acf4893d7f4fb352a15ea9b.png)
Tvrdenie (Vzťah deliaceho pomeru a lineárnej kombinácie).
Nech
. Potom pre deliaci pomer platí:
. Pozrite si grafické zdôvodnenie
Tu.
Nech
![\small C = (1 -t)A + tB,\; t \neq 1 \small C = (1 -t)A + tB,\; t \neq 1](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/5f9322a8f9a76a1ecfceae91bfcc1706.png)
![\small (ABC) = \frac{t}{t-1} \small (ABC) = \frac{t}{t-1}](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/d103c823f466408b4189e8c86e965b99.png)
Poznámky.
- Z definície deliaceho pomeru
vyplýva, že vektory
sú lineárne závislé a platí
. Preto kvôli korektnosti definície deliaceho pomeru je v definícii uvádzaná podmienka kolineárnosti bodov
. Z predchádzajúceho tvrdenia aj z cvičenia 3. tiež vyplýva, že body
sú kolineárne.
- Z cvičenia 1. vyplýva, že existuje bod
, ktorý budeme nazývať stred dvojice bodov
(resp. úsečky
). Ak
, tak pre stred
platí
. Stred dvojice bodov
budeme označovat’
.
Tvrdenie.
a) Nech body
, potom vektory
(sa rovnajú) práve vtedy, keď
(stred rovnobežníka).
b) Pre súradnice stredu
platí:
.
Výberové témy a) Nech body
![\small A,B,C,D \in \mathbb E_n \small A,B,C,D \in \mathbb E_n](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/374a5a89973b800c61f234efa7628c8f.png)
![\small A-B=D-C \small A-B=D-C](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/4b7a9d479cf831464b2a0b31d28bbe3e.png)
![\small S_{AC}=S_{BD} \small S_{AC}=S_{BD}](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/17c12e468671350593892e760ffe8379.png)
b) Pre súradnice stredu
![\small S_{AB} \small S_{AB}](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/c3c42bcd0047f1bf2c86bf94f7262490.png)
![\left( \frac{a_1+b_1}{2},\frac{a_2+ b_2}{2}, \cdot \cdot \cdot ,\frac{a_n+b_n}{2} \right) \left( \frac{a_1+b_1}{2},\frac{a_2+ b_2}{2}, \cdot \cdot \cdot ,\frac{a_n+b_n}{2} \right)](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/d20581caef42fe4574d2fe811baa042d.png)
Tvrdenie (Menelaos).
Nech
sú nekolineárne body a nech
sú body rôzne od bodov
. Potom
body
sú kolineárne práve vtedy, keď
.
Nech
![\small A,B,C \small A,B,C](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/88db76319f4544b245f0671a769a9e15.png)
![\small A′∈〈BC〉, B′∈〈CA〉, C′∈〈AB〉 \small A′∈〈BC〉, B′∈〈CA〉, C′∈〈AB〉](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/bf55d8e15a92a3a8cb493a7059efd750.png)
![\small A,B,C \small A,B,C](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/88db76319f4544b245f0671a769a9e15.png)
![\small A′, B′, C′ \small A′, B′, C′](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/33ed39e4796f20dc03ede4492b435e9b.png)
![\small (ABC′)(BCA′)(CAB′) = 1 \small (ABC′)(BCA′)(CAB′) = 1](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/4c0093f0369fda3ae1628efe4d48e9f9.png)
Dôkaz.
Zvoľme afinnú sústavu súradníc tak, že
. Body
majú po rade súradnice
,
pričom
. Rovnica nadroviny (priamky)
má všeobecnú rovnicu
. Preto
.
Z definície deliaceho pomeru dostaneme
.
Po jednoduchých úpravách ľahko zistíme, že rovnosť
je ekvivalentná s rovnosťou
.
Na druhej strane body
sú kolineárne práve vtedy, keď ležia na jednej priamke. Priamka určená bodmi
má parametrické vyjadrenie
.
Bod
leží na tejto priamke práve vtedy, keď platí
. Po dosadení súradníc dostaneme sústavu dvoch rovníc o jednej neznámej
,
ktorá má riešenie práve vtedy, keď platí
.
Zvoľme afinnú sústavu súradníc tak, že
![\small A = (0,0), B = (1,0), C = (0,1) \small A = (0,0), B = (1,0), C = (0,1)](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/500e92839fbbd94345ddff7936ce791f.png)
![\small C′, B′ \small C′, B′](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/47f12823caa85358f3ce02d0af2e14fe.png)
![\small (c,0), (0,b) \small (c,0), (0,b)](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/98d6a8ea5b300a2947d79af1840ada84.png)
![\small c, b ≠ 0, 1 \small c, b ≠ 0, 1](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/19c02cd352b9e1cc9c86d05c7451abdc.png)
![\small BC \small BC](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/3c1796a1e7248ad96d2360d12003ab09.png)
![\small x + y − 1 = 0 \small x + y − 1 = 0](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/ba6b20bdef466b840e77e430e624d6b0.png)
![\small A′ = (a,1−a), a ≠ 0, 1 \small A′ = (a,1−a), a ≠ 0, 1](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/c274852ee3bbfb4742217b235f6bc4c4.png)
![\small (ABC′) = c/(c −1), (BCA′) = (a −1)/a, (CAB′) = (b −1)/b \small (ABC′) = c/(c −1), (BCA′) = (a −1)/a, (CAB′) = (b −1)/b](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/bfbf1a03849e57a69fa77a0e96ed0750.png)
Po jednoduchých úpravách ľahko zistíme, že rovnosť
![\small (ABC′)(BCA′)(CAB′) = 1 \small (ABC′)(BCA′)(CAB′) = 1](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/4c0093f0369fda3ae1628efe4d48e9f9.png)
![\small ab − ac −bc + c = 0 \small ab − ac −bc + c = 0](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/e8b1421b14ffd4398e9c0f38931a573e.png)
Na druhej strane body
![\small A′, B′, C′ \small A′, B′, C′](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/33ed39e4796f20dc03ede4492b435e9b.png)
![\small C′, B′ \small C′, B′](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/47f12823caa85358f3ce02d0af2e14fe.png)
![\small X= B′+ t(C′-B') \small X= B′+ t(C′-B')](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/7310011380dc06861cdd006c8facfd9b.png)
Bod
![\small A′ \small A′](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/cb41a5c8324759d22f09f0352bc5a562.png)
![\small A'= B′+ t(C′-B') \small A'= B′+ t(C′-B')](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/40296eb4118a76cc8b5fdd8d7ee7abaf.png)
![\small t \small t](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/d3d1c6081cfdb5c2be2d111ac7f84813.png)
![\small ab − ac −bc + c = 0 \small ab − ac −bc + c = 0](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/e8b1421b14ffd4398e9c0f38931a573e.png)