Interaktívna geomeria

V axiomaticky zavedenej Euklidovskej geometrii dôležitú úlohu zohrávajú aj axiómy usporiadania. Na zavedenie metriky na priamke potrebujeme okrem polohových axióm usporiadania aj pojem deliaci pomer troch kolineárnych bodov. Jeho cieľom je ukázať vzťah medzi geometrickým umiestnením bodov a ich algebraickým vyjadrením v afinnom priestore. Uvedieme presne formulovanú definíciu deliaceho pomeru a jej algebraický zápis.

Definícia (Deliaci pomer bodov).
Nech $\small A, B \in \mathbb E_n$ a $\small C \neq B$ sú tri kolineárne body. Deliacim pomerom bodov $\small A, B,C$ (v tomto poradí) nazývame reálne číslo $\small \lambda$ také, že
(DP) $\small (C-A) = \lambda (C-B)$.
Budeme ho označovať $\small (ABC)$.

Vypočítajte $\small (ABC)$, ak:

1. $\small A = [1, 0, 1], B = [1, 3, -2], C = [1, -3, 4]$
2. $\small A = [1, 1, 1], B = [2, 0, -1], C = AB \cap \alpha , \alpha : 2x -3y + 2z = 0$
3. $\small A = [1, -1], B = A + 2\vec u, C = A- \vec u, \vec u = (1, 2).$

Riešenie.

1. Najskôr je nutné zistiť, či body $\small A,B,C$ sú kolineárne.
   
   Grafické určenie deliaceho pomeru v GeoGebre.
   Pre deliaci pomer $\small \lambda$ musí platiť:
   ($\small \lambda$) $\small (C-A)= \lambda \cdot (C-B) \Leftrightarrow \overrightarrow{AC} =\lambda \cdot \overrightarrow{BC}$ .
   Potom môžeme spočítať
   $\small \vec{u}=\overrightarrow{AC}=\left([1, -3, 4]-[1, 0, 1]\right) =(0,-3,3);\vec{v}=\overrightarrow{BC}\left([1, 3, -2]-[1, -3, 4] \right) =( 0,-6 ,6)$.
   Po dosadení do vzťahu ($\small \lambda$) dostaneme $\small \lambda=2$.
2. Najskôr určte súradnice priesečníka $\small C$ priamky $\small \overleftrightarrow{AB}$ a roviny $\small \alpha$. Rovnica priamky $\small \overleftrightarrow{AB}$ je daná parametricky
   $\small \left(\begin{matrix} x \\ y \\ z \end{matrix}\right)= \left(\begin{matrix} t+1 \\ -t+1 \\ -2t+1 \end{matrix}\right)$
   Po dosadení do všeobecnej rovnice roviny $\small \alpha : 2x -3y + 2z = 0$ určíme riešenie $\small t=-1$. Spoločný bod $\small C$ má súradnice $\small [0,2,3]$.
   
   Otvorte si GeoGebra konštrukciu, kde môžete meniť zadanie.
3. Najskôr určte súradnice bodov $\small B,C$.

Nasledujúce obrázky dokumentujú vzťah deliaceho pomeru pre pevne zvolené body $\small A,B$ a premenlivý bod $\small C$. Tento vzťah predstavuje hyperbolickú funkciu.

Interaktívna konštrukcia Deliaci Pomer - Graf Hyperbola – GeoGebra.

Tvrdenie (Vzťah deliaceho pomeru a lineárnej kombinácie).
Nech bod $\small C$ je lineárnou kombináciou bodov $\small A,B$, ktorá má tvar $\small C = (1 -\lambda )A + \lambda B,\; \lambda \neq 1$. Potom pre deliaci pomer platí:
(DP1) $\small (ABC) = \large \frac{\lambda }{\lambda -1}$.

Dôkaz.

Z predchádzajúcich vzťahov vyplýva, že $\small C = (1 -\lambda )A + \lambda B,\; \lambda \neq 1$. Po roznásobení dostaneme

$\small C =A-\lambda A+ \lambda  B$,
z čoho už priamo plynie výsledok.

Platí aj tvrdenie v opačnom smere. Nech pre deliaci pomer platí: $\small (ABC) =\lambda$. Potom platí:
$\small C = (1 -\lambda )A + \lambda B,\; \lambda \neq 1$.
Vieme, že $\small (C-A) = \lambda (C-B)$. Po vydelení číslom $\lambda -1$ dostaneme
$\large \frac{1}{ \lambda -1} \small (C - A) = \large \frac{\lambda}{ \lambda -1}\small (C - B)$.
Pozrite si grafické zdôvodnenie Tu.

Poznámky.

1. Z definície deliaceho pomeru $\small (C-A) = \lambda (C-B)$ vyplýva, že vektory $\small \vec u = (C-A), \vec v = (C-B)$ sú lineárne závislé a platí $\small \vec u= \lambda \cdot \vec v$. Preto kvôli korektnosti definície deliaceho pomeru je v definícii uvádzaná podmienka kolineárnosti bodov $\small A,B,C$. Z predchádzajúceho tvrdenia aj z cvičenia 3. tiež vyplýva, že body$\small A,B,C$ sú kolineárne.
2. Z cvičenia 1. vyplýva, že existuje bod $\small S=\frac{1}{2}A+ \frac{1}{2}B$, ktorý budeme nazývať stred dvojice bodov $\small A,B$ (resp. úsečky $\small AB$ ). Ak $\small A \neq B$, tak pre stred $\small S$ platí $\small (ABS)=-1$. Stred dvojice bodov $\small A,B$ budeme označovat’ $\small S_{AB}$.

Tvrdenie.
a) Nech body $\small A,B,C,D \in \mathbb E_n$, potom vektory $\small A-B=D-C$ (sa rovnajú) práve vtedy, keď $\small S_{AC}=S_{BD}$ (stred rovnobežníka).
b) Pre súradnice stredu $\small S_{AB}$ platí: $\left( \frac{a_1+b_1}{2},\frac{a_2+ b_2}{2}, \cdot \cdot \cdot ,\frac{a_n+b_n}{2} \right)$.

Tvrdenie (Menelaos).
Nech $\small A,B,C$ sú nekolineárne body a nech $\small A′∈〈BC〉, B′∈〈CA〉, C′∈〈AB〉$ sú body rôzne od bodov $\small A,B,C$. Potom body $\small A′, B′, C′$ sú kolineárne práve vtedy, keď $\small (ABC′)(BCA′)(CAB′) = 1$.

Otvorte si interaktívnu konštrukciu Tu.

Dôkaz.
Zvoľme afinnú sústavu súradníc tak, že $\small A = (0,0), B = (1,0), C = (0,1)$. Body $\small C′, B′$ majú po rade súradnice $\small (c,0), (0,b)$, pričom $\small c, b ≠ 0, 1$. Rovnica nadroviny (priamky) $\small BC$ má všeobecnú rovnicu $\small x + y − 1 = 0$. Preto $\small A′ = (a,1−a), a ≠ 0, 1$. Z definície deliaceho pomeru dostaneme
$\small (ABC′) = c/(c −1), (BCA′) = (a −1)/a, (CAB′) = (b −1)/b$.
Po jednoduchých úpravách ľahko zistíme, že rovnosť $\small (ABC′)(BCA′)(CAB′) = 1$ je ekvivalentná s rovnosťou $\small ab − ac −bc + c = 0$.
Na druhej strane body $\small A′, B′, C′$ sú kolineárne práve vtedy, keď ležia na jednej priamke. Priamka určená bodmi $\small C′, B′$ má parametrické vyjadrenie
$\small X= B′+ t(C′-B')$.
Bod $\small A′$ leží na tejto priamke práve vtedy, keď platí $\small A'= B′+ t(C′-B')$. Po dosadení súradníc dostaneme sústavu dvoch rovníc o jednej neznámej $\small t$, ktorá má riešenie práve vtedy, keď platí $\small ab − ac −bc + c = 0$.

Tvrdenie (Ceva, čítaj čéva).
Nech body $\small A,B,C$ sú nekolineárne a nech body $\small A′, B′, C′$ ležia na stranách odpovedajúcim protiľahlým vrcholom trojuholníka $\small ABC$, potom priamky $\small AA',BB',CC'$ sa pretínajú v jednom bode práve vtedy, ak platí $\small (ABC′)(BCA′)(CAB′) = −1$.

Dôkaz nájdete v práci [TIS] na stránke Tu, str. 91; konštrukčný dôkaz je dostupný v kurze Planimetria v kapitole Vybrané vety o trojuholníkoch.