Afinná geometria
Zhodnostné zobrazenia
Vzor a obraz
Nech je dané afinné zobrazenie
, v ktorom sa súradný repér zobrazí na repér
.
V tejto kapitole sa budeme zaoberať
![\small f \small f](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/b7e2adc3735eb412c4b578ef9ed44270.png)
![\small \mathcal R' = \left \langle O'; \vec e'_1, \vec e'_2 \right\rangle \small \mathcal R' = \left \langle O'; \vec e'_1, \vec e'_2 \right\rangle](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/90dc58bc2a6f5cc77e6ae41a164149fd.png)
- obrazom bodu v afinnom zobrazení
- obrazom priamky v afinnom zobrazení
- hľadaním vzoru k obrazu bodu
Poznámky.
- Obraz ľubovoľného bodu
v afinnom zobrazení
určíme jednoducho tak, že súradnice tohto bodu dosadíme do transformačných rovníc. Dostaneme rovnosti
, pričom čísla
predstavujú súradnice bodu
.
- Určiť obraz priamky
v afinnom zobrazení znamená určiť rovnicu priamky
. To môžeme urobiť dvoma spôsobmi.
- Ak priamka
je určená dvomi rôznymi bodmi
, tak súradnice bodov
dosadíme do transformačných rovníc afinného zobrazenia. Výpočtom popísanom v predchádzajúcom odseku určíme súradnice bodov
, ktorými bude určená priamka
. Potom určíme napríklad parametrické rovnice priamky
.
- Ak priamka
je určená rovnicou (napr. vo všeobecnom tvare
), tak do transformačných rovníc
dosadíme za premenné
súradnice všeobecného bodu
priamky. Tento bod určíme pomocou parametra
v tvare
. (V prípade. že
zvolíme parameter
). Po dosadení dostaneme parametrické rovnice obrazu priamky
.
- Ak priamka
- Nájsť vzor
k danému obrazu
v afinnom zobrazení
určíme tak, že súradnice obrazu bodu
dosadíme do transformačných rovníc za premenné
. Dostaneme sústavu dvoch rovních o neznámych
. Riešenie tejto súsatavy predstavuje súradnice hľadaného vzoru.
Riešenie
Analytické riešenie: Transformačné rovnice sú
![\small {x' = 2 x - y -2\\ y' = x + y + 2}. \small {x' = 2 x - y -2\\ y' = x + y + 2}.](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/91b20123a27336e5ff36e24b75c35677.png)
Analytické riešenie: Transformačné rovnice sú
![\small {x' = 2 x - y -2\\ y' = x + y + 2}. \small {x' = 2 x - y -2\\ y' = x + y + 2}.](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/91b20123a27336e5ff36e24b75c35677.png)
- Pre priamku
má jej ľubovoľný bod
súradnice
Po dosadení do transformačných rovníc dostaneme sústavu parametrických rovníc
Výsledok: po úprave na všeobecný tvar dostaneme rovnicu obrazu priamky:
Na syntetické riešenie použite applet Tu. - Keďže každý bod priamky \small x=1 \) má prvú súradnicu rovnú 1, tak stačí hodnotu \small x=1 \) dosadiť do transformačných rovníc a dostaneme rovnice
Po dosadení do druhej rovnice
dostaneme rovnicu obrazu priamky
.
Príklad.
Dané je afinné zobrazenie transformačnými rovnicami
.
Ktoré body sa zobrazia do bodov [9, 8] a [−6, 1]?
Dané je afinné zobrazenie transformačnými rovnicami
![\small {x' = 3x + y − 6 \\ y' = x + y + 1} \small {x' = 3x + y − 6 \\ y' = x + y + 1}](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/76817383987c82f4a1073c54dcf25261.png)
Ktoré body sa zobrazia do bodov [9, 8] a [−6, 1]?
Riešenie
Súradnice bodu [9, 8] dosadíme do transformačných rovníc za premenné
. Riešením je dvojica
. Otvorte si applet na riešenie rovníc Tu.
Súradnice bodu [9, 8] dosadíme do transformačných rovníc za premenné
![\small x',y' \small x',y'](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/70a251c8f946ebcacc9130372447bde4.png)
![\small \left\{ x_1 = 4, x_2 = 3 \right\} \small \left\{ x_1 = 4, x_2 = 3 \right\}](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/9bd4ec144953184b724665310e86514b.png)