Afinná geometria
Analytické vyjadrenie
Samodružnosť
Definícia (Samodružný bod).
Bod
v afinnom zobrazení
je samodružný práve vtedy, ak sa v zobrazení
zobrazí sám na seba
.
Bod
![\small M \small M](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/1a9e637e1c6572a0043896114844bb06.png)
![\small f:\mathbb E_n \rightarrow \mathbb E_n \small f:\mathbb E_n \rightarrow \mathbb E_n](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/df182d59d53d31840f70eaf858cb44aa.png)
![\small f \small f](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/77e750f5f7faac6dedf7f58ab09ca580.png)
![\small f(X) = X \small f(X) = X](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/76ec2c7ec0f7bc79fbcd8738c79e560d.png)
Samodružné body afinnej transformácie pre
jednoducho nájdeme ako riešenie sústavy dvoch rovníc
Vyriešiť tieto rovnice je jednoduché, ak poznáme koeficienty a,b,c,d,p,q.
![\small n=2 \small n=2](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/0a7851ba9944e516dba53a2b655a9671.png)
![\small x=a \cdot x+c \cdot y+p \\ \small y=b \cdot x+d \cdot y+q. \small x=a \cdot x+c \cdot y+p \\ \small y=b \cdot x+d \cdot y+q.](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/355a81a587291280deacb362927bced6.png)
Vyriešiť tieto rovnice je jednoduché, ak poznáme koeficienty a,b,c,d,p,q.
Poznámky.
Z pohľadu syntetickej geometrie táto sústava dvoch rovníc predstavuje dve priamky v rovine. Vyriešiť sústavu znamená teda nájsť spoločné body dvoch priamok a to môže byť
Z pohľadu syntetickej geometrie táto sústava dvoch rovníc predstavuje dve priamky v rovine. Vyriešiť sústavu znamená teda nájsť spoločné body dvoch priamok a to môže byť
- prázdna množina – vtedy afinné zobrazenie nemá samodružný bod
- existuje priesečník priamok – afinné zobrazenie má jeden samodružný bod
- priamky sú totožné - afinné zobrazenie má priamku samodružných bodov.
Transformačné rovnice budú mať tvar
Nasledujúci obrázok predstavuje grafickú interpretáciu tohto afinného zobrazenie v rovine. Bod
je pohyblivý, ktorého obraz je bod
.
Bod
má v afinnom zobrazení súradnice
, kde (\small a,b,c,d,p,q\) sú súradnice obrazu repéra.
Applet k tomuto cvičeniu si môžete otvoriť
Tu.
Samodružné body afinnej transformácie jednoducho nájdeme ako riešenie rovnice
.
Po rozpísaní dostaneme sústava dvoch rovníc, ktorá bude mať tvar
Ľahko nahliadneme, že rovnice sú lineárne závislé (dokonca rovné). Preto množina bodov, ktoré sú riešením danej sústavy je priamka
.
Presnejšie: každý bod priamky
je samodružný. Zobrazenie, ktoré má priamku bodovo samodružnú, je buď osová súmernosť alebo osová afinita. V našom prípade je to osová súmernosť s osou súmernosti
.
![\small x=\; \; 0 \cdot x-1 \cdot y+2 \\ \small y=-1 \cdot x+0 \cdot y+2. \small x=\; \; 0 \cdot x-1 \cdot y+2 \\ \small y=-1 \cdot x+0 \cdot y+2.](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/699ea85a22c32bcf828f1989b42cdcda.png)
Nasledujúci obrázok predstavuje grafickú interpretáciu tohto afinného zobrazenie v rovine. Bod
![\small M(x(M),y(M)) \small M(x(M),y(M))](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/c31ae9a7b9aa65edc235c4f845a078c1.png)
![\small M' \small M'](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/331154bab275733d9777a05401ca3a0d.png)
![\small M' \small M'](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/331154bab275733d9777a05401ca3a0d.png)
![\small M'((a x(M) + c y(M) + p, b x(M) + d y(M) + q) \small M'((a x(M) + c y(M) + p, b x(M) + d y(M) + q)](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/170bfcaa4a709d27b9ac6df0fe69f5bc.png)
Samodružné body afinnej transformácie jednoducho nájdeme ako riešenie rovnice
![\small (\begin{array}{} x & y \end{array} )=\left( \begin{array}{} x & y \end{array} \right) ·\left( \begin{array}{} 1 & 0 \\ 0 & 1 \\ \end{array} \right)+\left( \begin{array}{} 2 & 2\end{array} \right) \small (\begin{array}{} x & y \end{array} )=\left( \begin{array}{} x & y \end{array} \right) ·\left( \begin{array}{} 1 & 0 \\ 0 & 1 \\ \end{array} \right)+\left( \begin{array}{} 2 & 2\end{array} \right)](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/4a59c3f1e8393e3284267d4785028fac.png)
Po rozpísaní dostaneme sústava dvoch rovníc, ktorá bude mať tvar
![\small x=0 \cdot x- y+2 \\ \small y=- x+0 \cdot y+2 \small x=0 \cdot x- y+2 \\ \small y=- x+0 \cdot y+2](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/fde269f252f100f0b1c3d503bc105c53.png)
Ľahko nahliadneme, že rovnice sú lineárne závislé (dokonca rovné). Preto množina bodov, ktoré sú riešením danej sústavy je priamka
![\small y=-x+2 \small y=-x+2](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/b9185d0823f09c41abe5dc0d957b03b8.png)
![\small {y=-x+2} \small {y=-x+2}](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/2e5a1cbf917ad7b58a92665557197e06.png)
je samodružný. Zobrazenie, ktoré má priamku bodovo samodružnú, je buď osová súmernosť alebo osová afinita. V našom prípade je to osová súmernosť s osou súmernosti
![\small y=-x+2 \small y=-x+2](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/b9185d0823f09c41abe5dc0d957b03b8.png)
Úlohy.
Určite samodružné body afinného zobrazenia určeného transformačnými rovnicami:
Určite samodružné body afinného zobrazenia určeného transformačnými rovnicami:
Riešenie
- Po úprave dostaneme
Applet Tu. - Po úprave dostaneme
.
- Použite nástroje CAS "Riešenie sústavy rovníc".