Afinná geometria
Analytické vyjadrenie
Obraz repéra
Z analytického vyjadrenia afinného zobrazenia
vyplýva, že takéto afinné zobrazenie je jednoznačne určené, ak poznáme obraz
súradného repéru
v tomto zobrazení. Analytické vyjadrenie daného zobrazenia je určené vzťahom (AV) v kapitole "Analytické vyjadrenie".
V tejto kapitole sa budeme zaoberať transformáciami euklidovskej roviny
, ktorá má repér
. Nech tento súradný repér v afinnom zobrazení
sa zobrazí na repér
. Vektory
sú lineárne nezávislé, preto aj ich obrazy
sú zrejme lineárne nezávislé. Dokážte to!
![\small f: \mathbb E_n \rightarrow \mathbb E_m \small f: \mathbb E_n \rightarrow \mathbb E_m](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/88122ae566ac95155235a82e325c9aad.png)
![\small \mathcal R' = \left\langle O';\pmb {e_1}',\pmb {e_2}', \cdot \cdot \cdot ,\pmb {e_n}'\right\rangle \small \mathcal R' = \left\langle O';\pmb {e_1}',\pmb {e_2}', \cdot \cdot \cdot ,\pmb {e_n}'\right\rangle](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/d71e69c9c37efd5acf8420610fdb8384.png)
![\small \mathcal R =\left\langle O;\pmb {e_1},\pmb {e_2}, \cdot \cdot \cdot ,\pmb {e_n}\right\rangle \small \mathcal R =\left\langle O;\pmb {e_1},\pmb {e_2}, \cdot \cdot \cdot ,\pmb {e_n}\right\rangle](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/ebc9f13dbaa8e07738a330412b16769f.png)
V tejto kapitole sa budeme zaoberať transformáciami euklidovskej roviny
![\small \mathbb E_2=(\mathbb R_2, V_n(\mathbb R)) \small \mathbb E_2=(\mathbb R_2, V_n(\mathbb R))](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/0e3ec9a28a3b3bc6bad20b28cb388d28.png)
![\small \mathcal R =\left\langle O[0,0];\pmb {e_1}=(1,0),\pmb {e_2}=(0,1)\right\rangle \small \mathcal R =\left\langle O[0,0];\pmb {e_1}=(1,0),\pmb {e_2}=(0,1)\right\rangle](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/2831d609507dca97ba6f6635794431e6.png)
![\small f \small f](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/b7e2adc3735eb412c4b578ef9ed44270.png)
![\small \mathcal R =\left\langle O';\pmb {e_1}',\pmb {e_2}'\right\rangle \small \mathcal R =\left\langle O';\pmb {e_1}',\pmb {e_2}'\right\rangle](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/b2b8b188a8c551c7b3889c7dbc3335a6.png)
![\small \pmb {e_1},\pmb {e_2} \small \pmb {e_1},\pmb {e_2}](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/a364cdc24fdfe766e678a58c6dca98a9.png)
![\small \pmb {e_1}',\pmb {e_2}' \small \pmb {e_1}',\pmb {e_2}'](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/c6c8e3b5fd4305894215066ac9138511.png)
Maticový zápis pre rovinné afinné zobrazenie
určené obrazom repéra
bude mať nasledovný tvar
alebo
,
kde
sú obrazy súradnicových vektorov v asociovanom zobrazení
a
je obraz začiatku súradnej sústavy v afinnom zobrazení
.
![\small f: \mathbb E_2 \rightarrow \mathbb E_2 \small f: \mathbb E_2 \rightarrow \mathbb E_2](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/bca28a5d2c9de042b02747659ea3cc47.png)
![\small \mathcal R =\left\langle O;\pmb {e_1},\pmb {e_2} \right\rangle \small \mathcal R =\left\langle O;\pmb {e_1},\pmb {e_2} \right\rangle](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/5970166b6b274057e9f00edc2c2ca4d6.png)
![\small \left(\begin{array}{ccc} x'\\ y' \end{array} \right)=\left(\begin{array}{ccc} a&c \\ b&d \end{array}\right)\times \left(\begin{array}{ccc}x \\ y \end{array}\right) + \left(\begin{array}{ccc}p \\ q \end{array}\right) \small \left(\begin{array}{ccc} x'\\ y' \end{array} \right)=\left(\begin{array}{ccc} a&c \\ b&d \end{array}\right)\times \left(\begin{array}{ccc}x \\ y \end{array}\right) + \left(\begin{array}{ccc}p \\ q \end{array}\right)](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/280b783e98f7feb87ea69c484f94fc36.png)
![\small
\left(\begin{array}{ccc} x'\\ y'\\1 \end{array} \right)=\left(\begin{array}{ccc} a&c&p \\
b&d&q \\
0&0&1
\end{array}\right)
\times
\left(\begin{array}{ccc}x \\ y\\1 \end{array}\right) \small
\left(\begin{array}{ccc} x'\\ y'\\1 \end{array} \right)=\left(\begin{array}{ccc} a&c&p \\
b&d&q \\
0&0&1
\end{array}\right)
\times
\left(\begin{array}{ccc}x \\ y\\1 \end{array}\right)](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/16229e43e3edb622ad1e9342d678b756.png)
kde
![\small (a,b)=f^*(\vec e_1), (c,d)=f^*(\vec e_2) \small (a,b)=f^*(\vec e_1), (c,d)=f^*(\vec e_2)](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/5e0b6ee3916e21aa8122f4d08eb6a938.png)
![\small f^* \small f^*](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/1662783f6a5e06fe984bcb61fa72febf.png)
![\small [p,q]=f(O) \small [p,q]=f(O)](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/feb3f3a5de864768600e9bca42c058f3.png)
![\small f \small f](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/77e750f5f7faac6dedf7f58ab09ca580.png)
Matica
sa nazýva transformačná matica afinného zobrazenia
.
Pri určovaní afinného zobrazenia, ktoré je určené obrazom
, môžeme transformačné rovnice určiť priamo pomocou súradníc obrazu počiatku
a súradníc vektorov
. Súradnice obrazu ľubovoľného bodu
roviny potom môžeme získať tak, že do transformačných rovníc dosadíme súradnice
bodu
.
![\small \mathcal M_f= \left( \begin{array}{} a & c \\ b & d \\ \end{array} \right) \small \mathcal M_f= \left( \begin{array}{} a & c \\ b & d \\ \end{array} \right)](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/4cc87f04c7f7bb9e8cc3d4fa65ad10ed.png)
![\small f \small f](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/77e750f5f7faac6dedf7f58ab09ca580.png)
Pri určovaní afinného zobrazenia, ktoré je určené obrazom
![\small \left\langle O', \vec e'_1, \vec e'_2 \right\rangle \small \left\langle O', \vec e'_1, \vec e'_2 \right\rangle](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/292fcf027625d40acda124b714d29327.png)
![\small O' \small O'](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/c48ca111c79fccbf1cb60bcd4eee5fae.png)
![\small \vec e'_1, \vec e'_2 \small \vec e'_1, \vec e'_2](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/7f8dde5480327fe3c42c635c7dff6b30.png)
![\small P \small P](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/7764a487bcd85484a117d388ee03beff.png)
![\small P[x_p, y_p] \small P[x_p, y_p]](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/f7bff613390be76a0f1fa7b64a9da5b3.png)
Príklad - obraz bodu
a kružnice euklidovskej roviny.
![\small P \small P](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/7764a487bcd85484a117d388ee03beff.png)
-
Určte transformačné rovnice afinného zobrazenia, ktoré postupne zobrazuje body súradného repéra
do bodov
v tomto poradí.
- Určte obraz ľubovoľného bodu
.
- Určte obraz kružnice
pomocou nástroja "Množina bodov".
- Pokúste sa toto afinné zobrazenie geometricky interpretovať. Príklad je prevzatý z práce (Chalmoviansky, Cvičenie 29).
Riešenie.
- Najskôr musíme určiť obraz súradného repéra
. Keďže začiatok súradnej sústavy bod
je samodružný, tak pre obrazy vektorov
bude platiť
. Transformačné rovnice určíme dosadením súradníc obrazov vektorov
a súradníc bodudo sústavy dvoch lineárnych rovníc o dvoch neznámych
Dostaneme transformačné rovnice - Súradnice obrazu ľubovoľného bodu
určíme dosadením jeho súradníc
do transformačných rovníc. Pre súradnice
dostaneme
Výsledok napríklad pre bodje
.
- Samostatná práca: V GeoGebra applete (upravte applet "Kompletné grafické riešenie ..." z príkladu Tri body) si zvoľte si ľubovoľnú kružnicu
a na nej si zvoľte ľubovoľný "Bod na objekte"
. Potom vo vlastnostiach bodu
v definícii zadajte P=L. Nakoniec aktivujte nástroj "Množina bodov" a kliknite postupne na bod
a potom na bod
.
- Na základe obrazu kružnice ide o osovú afinitu, ktorej os je x-ová súradná os. Ukážte, že každý bod x-ovej súradnej osi je samodružný.
- Kompletná konštrukcia - "Dynamický repér" Tu.