Afinná geometria
Vektorový priestor
Súradnice v báze
Príklad.
Riešenie.
- Zrejme
.
Toto sú súradnice vektoravzhľadom k jednotkovej báze. Je dôležité dodržať poradie prvkov bázy
.
- Určiť súradnice vzhľadom k báze
znamená vektor
vyjadriť ako lineárnu kombináciu prvkov bázy
. Opäť treba dať pozor na poradie prvkov bázy. Musíme nájsť
, pre ktoré platí:
( i)resp.
( ii):.
Úlohu môžeme riešiť ako sústavu rovníc (vyriešte úlohu týmto spôsobom).
(iii):
alebo rovnosť (ii) prepíšeme na maticový tvar (vektory bázy zapisujeme do stĺpcov! Prečo?) takto:
(iv):
Vyjadriť vektor(transponovaný zápis vektora) môžeme tak, že obe strany rovnice (iv) vynásobíme zľava inverznou maticou
.
Inverznú maticu určíme napríklad pomocou programu GeoGebra, otvorte si applet "inverzná matica" Tu. Po vynásobení zľava obidvoch strán rovnice (iv) dostaneme
.
Riešením je vektor. Otvorte si výpočty v GeoGebre Tu.
Nasledujúci applet demonštruje určenie súradníc vektora
v báze
Riešením sú súradnice
. Vypočítajte ich pomocou maticového tvaru, pričom využite program Matrix calculator.
![\small \vec u = (0,0,2) \small \vec u = (0,0,2)](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/8afaab374113a718738c677c5338311a.png)
![\small (1, 2,2) ;(1,2,1);(-1, 1,0) \small (1, 2,2) ;(1,2,1);(-1, 1,0)](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/39fbfe607cf3efcc7e5ed5178a3e26f4.png)
![\small (1,-1,0) \small (1,-1,0)](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/c3942a195e6d6d3dee7b58fcb82631b6.png)
♥ Príklad.
Je dané lineárne zobrazenie
, ktoré jednotkovú bázu
zobrazí na bázu
priestoru
. Nájdite obraz
vektora
v tomto zobrazení.
Je dané lineárne zobrazenie
![\small \varphi:V_3\to V_3 \small \varphi:V_3\to V_3](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/978c9715078f3a198e3157655331ad27.png)
![\small (\vec{e_1},\vec{e_2}, \vec{e_3} ) \small (\vec{e_1},\vec{e_2}, \vec{e_3} )](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/1e897323937d4eecbd2105ccf1eda950.png)
![\small (\vec a (1, 1, 2),\;\vec b(2, 3, 4),\;\vec c (1, 2, 3)) \small (\vec a (1, 1, 2),\;\vec b(2, 3, 4),\;\vec c (1, 2, 3))](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/ad2b29632078eefbf54cdab84e9b53b5.png)
![\small V_3(\mathbb R) \small V_3(\mathbb R)](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/d0ef9ed0bd93551d8ef5031ecaf67e4b.png)
![\small \vec u'=(u'_1,u'_2,u'_3) \small \vec u'=(u'_1,u'_2,u'_3)](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/0912d0cacbbfc919676117a30fde3bf2.png)
![\small \vec u = (5, −1, 9) \small \vec u = (5, −1, 9)](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/b52542640b88759b924514a84a07a61c.png)
Poznámka
Nech
sú vektorové priestory nad telesom
. Zobrazenie
sa nazýva lineárne zobrazenie, ak je splnené nasledovné:
kde
a
.
Nech
![\small V,W \small V,W](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/053997008b65301bbb7650339cdbb037.png)
![\small \mathbb R \small \mathbb R](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/fdc626a892450283554284048007cc0a.png)
![\small \varphi:V\to W \small \varphi:V\to W](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/95c98f860438fa2f1b14e2d68cde93e0.png)
![\small \begin{array}{ll}(\textrm{i})&\varphi(\vec u+\vec v)=\varphi(\vec u)+\varphi(\vec v)\\(\textrm{ii})&\varphi(\alpha\cdot\vec u)=\alpha\cdot\varphi(\vec u)\end{array} \small \begin{array}{ll}(\textrm{i})&\varphi(\vec u+\vec v)=\varphi(\vec u)+\varphi(\vec v)\\(\textrm{ii})&\varphi(\alpha\cdot\vec u)=\alpha\cdot\varphi(\vec u)\end{array}](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/b4602c708c32d3e3867ec873591d4331.png)
kde
![\small \vec u,\vec v \in V \small \vec u,\vec v \in V](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/7da883f3983d2128ae58ffe60aa3f93d.png)
![\small \varphi \in \mathbb R \small \varphi \in \mathbb R](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/8e15cd8d7b467a20d9e034d29cb93b4a.png)