Afinná geometria
Vektorový priestor
Skalárny súčin
Definícia, vlastnosti (zopakovanie z Lineárnej algebry).
Definícia.
Nech
je vektorový priestor nad poľom reálnych čísel. Zobrazenie (operáciu)
:
nazveme skalárny súčin na
, ak pre každé
sú splnené tieto podmienky:
Nech
![\small V(\mathbb R) \small V(\mathbb R)](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/17631416e027bda4f420d1a54eee9399.png)
![\cdot \cdot](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/4b0b8217e7f30047a9ef37e38fa48813.png)
![\rightarrow V_n \times V_n \rightarrow \mathbb R \rightarrow V_n \times V_n \rightarrow \mathbb R](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/b55d16adcbed1c7c97640d9319779de9.png)
nazveme skalárny súčin na
![\small V_n(\mathbb R) \small V_n(\mathbb R)](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/8d5afd43642bf1bff61dec6cef2f47af.png)
![\pmb a, \pmb b, \pmb c \in \small {V ,r \in \mathbb R } \pmb a, \pmb b, \pmb c \in \small {V ,r \in \mathbb R }](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/35eef026780a6e24cb208a25a1b08792.png)
Poznámky.
- Vlastnosti (ii) a (iii) nastavujú požiadavku na linearitu v prvej zložke. Vlastnosť (i) žiada symetriu, tj linearita prvej zložky sa prenáša do zložky druhej. Tieto vlastnosti má symetrická bilineárna forma. Viac o bilineárnych formách nájdete Tu.
- Vlastnosť (iv) hovorí, že forma musí byť pozitívne definitívna.
- Skalárny súčin na reálnom priestore je teda symetrická pozitívne definitná bilineárna forma na danom priestore.
- Takto definovaný skalárny súčin sa často v literatúre označuje ako vážený skalárny súčin.
- Pre skalárny súčin na reálnom priestore budeme namiesto označenia
používať len symbol pre násobenie
alebo symbol usporiadanej dvojice
.
Vážený skalárny súčin je oproti „stredoškolskému skalárnemu súčinu“ oveľa všeobecnejší. Stredoškolsky definovaný skalárny súčin (tiež nazývaný aj ako euklidovský skalárny súčin) na priestore
je zavedený nasledovne. Ak
, tak
![\small \pmb a . \pmb b = a_1 . b_1 + a_2 .b_2 + a_3 . b_3 \small \pmb a . \pmb b = a_1 . b_1 + a_2 .b_2 + a_3 . b_3](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/c89bf596012890182af99df523dade75.png)
Presvedčte sa, že stredoškolsky definovaný skalárny súčin spĺňa podmienky uvedené v definícii, že je to symetrická pozitívne definitná bilineárna forma.
Definícia skalárneho súčinu môže mať rôzne podoby. Napríklad na množine spojitých funkcií intervalu ⟨a,b⟩ možno uvažovať skalárny súčin vo forme
![\small V_3(\mathbb R) \small V_3(\mathbb R)](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/5c028c31aebe7bd15a60a6869df35f2b.png)
![\small \pmb a = [a_1, a_2, a_3], \pmb b = [b_1, b_2, b_3] \small \pmb a = [a_1, a_2, a_3], \pmb b = [b_1, b_2, b_3]](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/cad0163933a5d2adf5e1bcaed21e570d.png)
![\small \pmb a . \pmb b = a_1 . b_1 + a_2 .b_2 + a_3 . b_3 \small \pmb a . \pmb b = a_1 . b_1 + a_2 .b_2 + a_3 . b_3](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/c89bf596012890182af99df523dade75.png)
Presvedčte sa, že stredoškolsky definovaný skalárny súčin spĺňa podmienky uvedené v definícii, že je to symetrická pozitívne definitná bilineárna forma.
Definícia skalárneho súčinu môže mať rôzne podoby. Napríklad na množine spojitých funkcií intervalu ⟨a,b⟩ možno uvažovať skalárny súčin vo forme
![(f|g)= \int_{a}^{b}{f(x)g(x)} dx. (f|g)= \int_{a}^{b}{f(x)g(x)} dx.](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/1387bf6e6604ba11fbb10bec201243f4.png)
Riešenie.
Dosadením súradníc vektorov
do definície skalárneho súčinu,
ľahko overíme, že jednotlivé podmienky v definícii sú splnené.
Riešenie pomocou bilineárnych foriem nájdete Tu.
Dosadením súradníc vektorov
![\small \pmb a = [a_1, a_2, a_3], \pmb b = [b_1, b_2, b_3], \pmb c = [c_1, c_2, c_3] \in \mathbb R^3 \small \pmb a = [a_1, a_2, a_3], \pmb b = [b_1, b_2, b_3], \pmb c = [c_1, c_2, c_3] \in \mathbb R^3](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/0f2b26f65693e348a81b8428fbc61ab7.png)
Riešenie pomocou bilineárnych foriem nájdete Tu.
Veta - ďalšie vlastnosti skalárneho súcinu.
Veta - určenie euklidovského skalárneho súčinu.
Nech
je ortonormálna báza vektorového priestoru
a
nech
sú súradnice vektorov
v báze
. Potom
.
Nech
![\small B = \left\langle \pmb u_1, \pmb u_2, . . . , \pmb u_n \right\rangle \small B = \left\langle \pmb u_1, \pmb u_2, . . . , \pmb u_n \right\rangle](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/a62cb0e973c7ff661b0bd7453ce9514a.png)
![\small V_n(\mathbb R) \small V_n(\mathbb R)](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/8d5afd43642bf1bff61dec6cef2f47af.png)
![\small \pmb a = (a_1, a_2, . . . ,a_n), \pmb b = (b_1, b_2, . . . ,b_n) \small \pmb a = (a_1, a_2, . . . ,a_n), \pmb b = (b_1, b_2, . . . ,b_n)](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/e3de48d59d1081696d186039279aee1f.png)
![\small \pmb a,\pmb b \small \pmb a,\pmb b](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/8b71bfbd9f1ee6cb59a6a8b9455d018f.png)
![\small B \small B](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/f370a17fe74712ba56d86c6194f976d5.png)
![\small (\pmb a,\pmb b) = (a_1.b_1+ a_2.b_2+ . . . +a_n.b_n) \small (\pmb a,\pmb b) = (a_1.b_1+ a_2.b_2+ . . . +a_n.b_n)](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/10b2e4e49586f0b758ee43df880a018c.png)