Geometrické zobrazenia: Rovnoľahlosť

Rovnoľahlosť

Definícia.
Podobné zobrazenie (podobnosť) je zobrazenie, v ktorom obrazom každej úsečky

$\small AB$ je úsečka

$\small A'B'$ , ktorej veľkosť je

$k$ -násobkom veľkosti úsečky

$\small AB$ (

$k > 0$ ).

V každom podobnom zobrazení platí:

obrazom priamky $\small AB$ je priamka $\small A'B'$ , obrazom rovnobežných priamok sú rovnobežné priamky,
obrazom polpriamky $\small \overrightarrow{AB}$ je polpriamka $\small \overrightarrow{A'B'}$ ,
obrazom opačných polpriamok sú opačné polpriamky,
obrazom uhla $\small \angle AVB$ je uhol $\small \angle A'VB'$ zhodný s uhlom $\small \angle AVB$ .

Definícia (Rovnoľahlosť).
Je daný bod

$\small S$ a reálne číslo

$\kappa, \kappa \neq 0$ . Rovnoľahlosť (homotétia) je zobrazenie

$\mathscr{H}(S, \kappa)$ , ktoré priraďuje:

každému bodu $\small X ≠ S$ bod $\small X'$ tak, že $\small |SX'|= |\kappa|| SX|$ , pre $\kappa>0$ leží $\small X'$ na polpriamke $\small \overrightarrow{SX}$ , pre $\kappa \lt 0$ na polpriamke k nej opačnej,
bodu $\small S$ bod $\small S≡S'$ .

Otvorte si applet Tu.

Poznámka.
Rovnoľahlosť

$\small \mathscr{H}(S, \kappa)$ je podobnosť s koeficientom

$|\kappa|$ . Pre

$\kappa=1$ je identitou, pre

$\kappa=-1$ rotáciou okolo

$\small S$ o 180° (aj stredovou súmernosťou so stredom v bode

$\small S$ ).
Pre

$\kappa≠ 1$ je jediným samodružným bodom stred

$\small S$ . Samodružnou priamkou je každá priamka, ktorá prechádza stredom rovnoľahlosti. Pozrite si súbor appletov od Martina Vinklera Tu.

Rovnoľahlosť je špeciálne podobné zobrazenie. To znamená, že má všetky vlastnosti podobného zobrazenia.
Naviac má vlastnosť, že v rovnoľahlosti odpovedajúce priamky (vzor a obraz) sú rovnobežné.

Vľavo. V rovnoľahlosti platí:

$\small AB\; || \;A'B'$ . Vpravo. Podobné zobrazenie zložené z rovnoľahlosti a otáčania.
Otvorte si applet Tu.

Veta 1.
V rovnoľahlosti

$\small \mathscr{H}(S, \kappa)$ :

$\small X \rightarrow X'$

každé dve rovnoľahlé priamky sú rovnobežné,
každé dve rovnobežné a nezhodné úsečky sú rovnoľahlé dvomi spôsobmi,
každé dve nezhodné kružnice $\small (O_1,r_1),(O_2,r_2)$ sú rovnoľahlé, pričom stredy rovnoľahlosti ležia na strednej kružníc,
spoločné dotyčnice dvoch kružníc prechádzajú odpovedajúcimi stredmi rovnoľahlostí (vnútorným $\small S_2$ a vonkajším $\small S_1$ stredom rovnoľahlosti).

Otvorte si applet Tu.

Veta 2.
Nech sú dve kružnice

$\small k_1= (O_1,r_1),k_2=(O_2,r_2)$ rovnoľahlé, ich vonkajší stred rovnoľahlosti je bod

$\small S_1$ , vnútorný stred rovnoľahlosti

$\small S_2$ . Potom platí

$\small \mathscr{H_1}(S_1, \kappa= \frac{r_2}{r_1} ):k_2 \rightarrow k_1$ ,

$\small \mathscr{H_2}(S_2, \kappa= -\frac{r_2}{r_1} ):k_1 \rightarrow k_2$ .

Veta 3.
Zložením rovnoľahlosti a zhodného zobrazenia dostaneme podobné zobrazenie.
Každé podobné zobrazenie možno získať zložením vhodného zhodného zobrazenia a rovnoľahlosti >.

Cvičenie 1.
Do daného trojuholníka