Geometrické zobrazenia

Definícia.
Pod geometrickým zobrazením v rovine $\small \mathbb E_2$ rozumieme predpis $f$, ktorý ľubovoľnému bodu $\small X \in \mathbb E_2$ priradí najviac jeden bod $\small X' = f(X)$ .

V dvoch kapitolách "Geometrické zobrazenia" budeme skúmať

1. zhodné a podobné zobrazenia,
2. kruhovú inverziu,
3. osovú afinitu,
4. stredovú kolineáciu,

Definícia.
Zobrazenie $\small f: \mathbb{E_2} \rightarrow \mathbb{E_2}$ nazývame zhodné zobrazenie v ( $\small \mathbb{E_2}$ ), ak pre každé dva rôzne body $\small X, Y ∈ \mathbb{E_2}$ platí
$\small X'Y' ≅ XY$,
kde $\small X' =f(X), Y' = f(Y )$. Zhodné zobrazenia predstavujú geometrické zobrazenia euklidovskej roviny, ktoré zachovávajú incidenciu útvarov a vzdialenosť bodov (metriku).

Rovinné geometrické útvary $\small U_1, U_2$ sa nazývajú zhodné , ak existuje zhodné zobrazenie, ktoré jeden z nich zobrazí na druhý.  Zhodnosť dvoch útvarov symbolicky označíme takto: $\small U_1 \simeq U_2$ alebo takto $\small U_1 \cong U_2$.

Definícia.

1. Zhodné zobrazenie, ktoré nemení orientáciu trojice nelineárnych bodov nazývame priama zhodnosť . Zobrazenie, ktoré nie je priama zhodnosť sa nazýva nepriama zhodnosť.
2. Útvar $\small U$ nazývame samodružným zobrazenie $f$, ak sa v zobrazení $f$ zobrazí sám do seba, t.j. $\small f(U)=U$.

V euklidovskej rovine poznáme šesť typov zhodných zobrazení a to

• identitu,
• osovú súmernosť,
• stredovú súmernosť,
• otočenie (rotáciu),
• posunutie (transláciu),
• posunutú súmernosť.

Tvrdenie.
Zložením dvoch zhodných zobrazení je zhodné zobrazenie.

Dôkaz tohto tvrdenia prenechávame na čitateľa.

Definícia.
Nech $o$ je daná priamka. Zobrazenie, pre ktoré platí:

1. obrazom bodu $\small X$ ležiaceho na priamke $o$ je bod $\small X'$, ktorý je totožný s bodom $\small X$,
2. obrazom bodu $\small X$ neležiaceho na priamke $o$ je bod $\small X'$, pre ktorý platí, že priamka $\small XX'$ je kolmá na priamku $o$ a stred úsečky $\small XX'$ leží na priamke $o$,
   nazývame osová súmernosť.

Priamku $o$ nazývame os osovej súmernosti. Osovú súmernosť s osou $o$ budeme označovať symbolom $\sigma (o)$.

Otvorte si applet Tu.

Cvičenie.
Je daná priamka $p$ a body $\small A, B$ ležiace v tej istej polrovine s hraničnou priamkou $p$. Určte bod $\small X ∈ p$ tak, aby súčet $\small AX+ BX$ bol čo najmenší.
Riešenie Tu.

Otvorte applet od autora Daniel Mentrard Tu.

Definícia.
Nech $\small S$ je daný bod. Zobrazenie, pre ktoré platí:

1. obrazom bodu $\small S$ je bod $\small S$,
2. obrazom bodu $\small X \neq S$ je bod $\small X'$, pre ktorý platí, že bod $\small S$ je stredom úsečky $\small XX'$ nazývame stredová súmernosť .

Bod $\small S$ sa nazýva stred otáčania.

Otvorte si dynamickú prezentáciu Tu.

Definícia.
Nech je daný bod $\small S$, uhol $\alpha$ (veľkosť uhla je nanajvýš 360°) a orientácia kladná (proti smeru hodinových ručičiek) resp. záporná (v smeru hodinových ručičiek). Zobrazenie, pre ktoré platí:

1. obrazom bodu $\small S$ je bod $\small S$,
2. obrazom bodu $\small X \neq S$ je bod $\small X'$, ktorý leží na kružnici $\small k(S;SX$ a zároveň uhol $\small XSX'$ je zhodný s uhlom $\alpha$, pričom orientácia je kladná, resp. záporná, sa nazýva otáčanie .

Bod $\small S$ sa nazýva stred otáčania. Otočenie so stredom $\small S$ a uhlom $\alpha$ a kladnou resp. zápornou orientáciou budeme označovať $\rho_{S; -\alpha }$.

Otvorte si applet Tu.

Tvrdenia (Rozklad zhodností na osové súmernosti).

1. Identitu možno rozložiť na dve osové súmernosti, ktorých osi sú totožné. (Dôkaz prenechávame na čitateľa).
2. Každú stredovú súmernosť možno rozložiť na dve osové súmernosti, ktorých osi sú na seba kolmé a prechádzajú stredom stredovej súmernosti.
3. Každú rotáciu možno rozložiť na dve osové súmernosti, ktorých osi prechádzajú stredom rotácie, zvierajú uhol, ktorého veľkosť sa rovná jednej polovici veľkosti uhla rotácie, pričom orientácia uhla rotácie je súhlasná s orientáciou uhla od osi prvej osovej súmernosti ku osi druhej osovej súmernosti podľa poradia v zložení.

Otvorte konštrukčný dôkaz Tu.

Cvičenie (Stredová súmernosť).
Sú dané dve sústredné kružnice $k_1(O,r_1); k_2(O,r_2); r_1> r_2$ a bod $\small S$ vo vnútri $k_2$. Zostrojte obdĺžnik $\small ABCD$ tak, že $\small A,B \in k_1 ; C,D \in k_2$ a bod $\small S$ je jeho stredom. Riešenie Tu.

Definícia.
Daný je vektor $\vec{u}$. Zobrazenie, pre ktoré platí, že obrazom bodu $\small X$ je bod $\small X'$, pričom platí rovnosť vektorov $\small \vec{u}=\vec{XX'}$, sa nazýva posunutie alebo translácia.
Vektor $\vec{u}$ nazývame vektor posunutia. Posunutie o vektor $\vec{u}$ budeme označovať $\tau_{\vec{u} }$.

Otvorte si applet Tu.

Tvrdenie.
Každé posunutie možno rozložiť na dve osové súmernosti, ktorých osi sú rovnobežné (rôzne), zároveň sú kolmé na vektor posunutia, ich vzdialenosť je rovná jednej polovici veľkosti vektora posunutia, pričom orientácia vektora posunutia je súhlasná s orientáciou od osi prvej osovej súmernosti ku osi druhej osovej súmernosti podľa poradia v zložení.

Určenie vektora posunutia, ak posunutie je dané dvomi osovými súmernosťami je prezentované appletom "Posunutie".

Otvorte si applet "Posunutie" Tu.

Definícia.
Zostrojte rovnobežník ak sú dané veľkosti jeho strán $a, b$ a veľkosť $\phi$ uhla, ktorý zvierajú jeho uhlopriečky.

Otvorte si riešenie Tu.

Definícia.
Zobrazenie, ktoré je zložením osovej súmernosti a posunutia (v ľubovoľnom poradí), pričom os osovej súmernosti a vektor posunutia sú rovnobežné, nazývame posunutá súmernosť ; (posunutú súmernosť danú osou $o$ a vektorom $\vec{u}$ budeme označovať $\psi_{o;\vec{u}}$).

Poznámka.
V niektorej literatúre sa pre posunutú súmernosť používa názov posunuté zrkadlenie.

Tvrdenie
Zložením troch osových súmerností s navzájom rôznymi osami je buď osová súmernosť’ alebo posunutá súmernosť.

Dôkaz
Nech sú dané osové súmernosti $\sigma (o_1), \sigma (o_2), \sigma (o_3)$ a nech $o_1 \neq o_2 \neq o_3 \neq o_1$ sú navzájom rôzne priamky. Pre vzájomnú polohu týchto troch priamok môžu nastať 3 prípady:

1. Všetky priamky sú navzájom rovnobežné → výsledné zložené zobrazenie je osová súmernosť.
2. Dve sú rovnobežné a tretia ich pretína → výsledné zložené zobrazenie je posunutá súmernosť.
3. Priamky ležia na stranách trojuholníka (navzájom sú rôznobežné) → výsledné zložené zobrazenie je posunutá súmernosť. Otvorte si applet Tu.

Cvičenie
Daný je pravidelný 6-uholník $\small ABCDEF$ a body $\small X, Y$ , pričom $\small (ABX) = (DEY ) = 2$. Nájdite zhodné zobrazenie, ktoré zobrazí trojuholník $\small AXS$ do trojuholníka $\small Y DF$. Bude to priama alebo nepriama zhodnosť?

Riešenie

Tvrdenie.

1. Zloženie ľubovoľného konečného počtu osových súmerností možno vždy redukovať na zloženie maximálne troch osových súmerností. Pozrite si konštrukčný dôkazu Tu.
   
2. Zložením ľubovoľného konečného počtu zhodných zobrazení je identita, alebo osová súmernosť, alebo stredová súmernosť, alebo rotácia, alebo translácia, alebo posunutá súmernosť.
3. Všetky zhodnosti v rovine tvoria vzhľadom na skladanie zobrazení grupu (tzv. grupu zhodností). Generátorom grupy zhodností je osová súmernosť.

Zhodnosti reprodukujúce štvorec tvoria podgrupu. Pozrite si dynamický model.

Otvorte Tu.

Definícia.
Podobné zobrazenie (podobnosť) je zobrazenie, v ktorom obrazom každej úsečky $\small AB$ je úsečka $\small A'B'$, ktorej veľkosť je $k$-násobkom veľkosti úsečky $\small AB$ ( $k > 0$ ).

V každom podobnom zobrazení platí:

• obrazom priamky $\small AB$ je priamka $\small A'B'$, obrazom rovnobežných priamok sú rovnobežné priamky,
• obrazom polpriamky $\small \overrightarrow{AB}$ je polpriamka $\small \overrightarrow{A'B'}$,
• obrazom opačných polpriamok sú opačné polpriamky,
• obrazom uhla $\small \angle AVB$ je uhol $\small \angle A'VB'$ zhodný s uhlom $\small \angle AVB$.

Definícia (Rovnoľahlosť).
Je daný bod $\small S$ a reálne číslo $\kappa, \kappa \neq 0$. Rovnoľahlosť (homotétia) je zobrazenie $\mathscr{H}(S, \kappa)$, ktoré priraďuje:

1. každému bodu $\small X ≠ S$ bod $\small X'$ tak, že $\small |SX'|= |\kappa|| SX|$, pre $\kappa>0$ leží $\small X'$ na polpriamke $\small \overrightarrow{SX}$, pre $\kappa \lt 0$ na polpriamke k nej opačnej,
2. bodu $\small S$ bod $\small S≡S'$.

Otvorte si applet Tu.

Poznámka.
Rovnoľahlosť $\small \mathscr{H}(S, \kappa)$ je podobnosť s koeficientom $|\kappa|$. Pre $\kappa=1$ je identitou, pre $\kappa=-1$ rotáciou okolo $\small S$ o 180° (aj stredovou súmernosťou so stredom v bode $\small S$ ).
Pre $\kappa≠ 1$ je jediným samodružným bodom stred $\small S$. Samodružnou priamkou je každá priamka, ktorá prechádza stredom rovnoľahlosti. Pozrite si súbor appletov od Martina Vinklera Tu.

Rovnoľahlosť je špeciálne podobné zobrazenie. To znamená, že má všetky vlastnosti podobného zobrazenia.
Naviac má vlastnosť, že v rovnoľahlosti odpovedajúce priamky (vzor a obraz) sú rovnobežné.

Vľavo. V rovnoľahlosti platí: $\small  AB\; || \;A'B'$. Vpravo. Podobné zobrazenie zložené z rovnoľahlosti a otáčania.
Otvorte si applet Tu.

Veta 1.
V rovnoľahlosti $\small \mathscr{H}(S, \kappa)$: $\small X \rightarrow X'$

1. každé dve rovnoľahlé priamky sú rovnobežné,
2. každé dve rovnobežné a nezhodné úsečky sú rovnoľahlé dvomi spôsobmi,
3. každé dve nezhodné kružnice $\small  (O_1,r_1),(O_2,r_2)$ sú rovnoľahlé, pričom stredy rovnoľahlosti ležia na strednej kružníc,
4. spoločné dotyčnice dvoch kružníc prechádzajú odpovedajúcimi stredmi rovnoľahlostí (vnútorným $\small S_2$ a vonkajším $\small S_1$ stredom rovnoľahlosti).

Otvorte si applet Tu.

Veta 2.
Nech sú dve kružnice $\small k_1= (O_1,r_1),k_2=(O_2,r_2)$ rovnoľahlé, ich vonkajší stred rovnoľahlosti je bod $\small S_1$, vnútorný stred rovnoľahlosti $\small S_2$. Potom platí
$\small \mathscr{H_1}(S_1, \kappa= \frac{r_2}{r_1} ):k_2 \rightarrow k_1$,$\small \mathscr{H_2}(S_2, \kappa= -\frac{r_2}{r_1} ):k_1 \rightarrow k_2$ .

Veta 3.
Zložením rovnoľahlosti a zhodného zobrazenia dostaneme podobné zobrazenie.
Každé podobné zobrazenie možno získať zložením vhodného zhodného zobrazenia a rovnoľahlosti >.

Cvičenie 1.
Do daného trojuholníka $\small ABC$ vpíšte štvorec $\small KLMN$ tak , aby strana $\small KL$ ležala na strane $\small AB$, bod $\small M$ ležal na strane $\small BC$ a bod $\small N$ na strane $\small AC$.
Riešenie v práci [RUM], str. 98. 

Cvičenie 2.
Sú dané dva rôzne body $\small A,M$, ktorých vzdialenosť je $d$. Ďalej je dané kladné číslo $v$. Zostrojte kosoštvorec $\small ABCD$ s výškou $v$ tak ,aby bod $\small M$ bol stredom jeho strany $\small BC$.

Otvorte si rozbor úlohy Tu. Riešenie v práci [KRIZ], príklad 103.

Möbiova rovina je euklidovská rovina doplnená o jeden nevlastný bod $M^ \infty$, ktorý budeme nazývať Möbiov bod.
V takto doplnenej rovine môžeme definovať zobrazenie, ktoré sa nazýva kruhová inverzia.

Definícia.
V Möbiovej rovine je daná kružnica $\small \omega (S, r)$. Kruhová inverzia vzhľadom ku kružnici $\omega$ je zobrazenie, ktorého obrazom

1. stredu $\small S$ kružnice $\omega$ je bod $\small M^ \infty$
2. bodu $\small M^ \infty$ je stred $\small S$ kružnice $\omega$
3. ľubovoľného bodu $\small X \neq S$ a $\small X \neq M^ \infty$ je bod $\small X'$ ležiaci na polpriamke $\small \overrightarrow {SX}$ tak, že platí
   $\small |SX| · |SX' | = r^2$ .

Poznamenajme, že

1. ak bod $\small X'$ je obrazom bodu $\small X$, potom je aj bod $\small X$ obrazom bodu $\small X'$ , dvojicu odpovedajúcich bodov nazývame aj navzájom inverzné body - kruhová inverzia je involútorné zobrazenie;
2. body na kružnici $\omega$ sú samodružné;
3. bod ležiaci vo vnútri kružnice $\omega$ sa zobrazí na vonkajší bod a naopak.
Konštrukcia obrazu $\small X'$ ľubovoľného bodu $\small X \neq S$ a $\small X \neq M^ \infty$ a $\small X \notin \omega$ je založená na Euklidovej vete o odvesne.

Otvorte si dynamickú konštrukciu Tu.

Konštrukcia pre bod $\small X$, ležiaci mimo kružnice $\omega$:
Z bodu $\small X$ zostrojíme dotyčnicu kružnice $\omega$, bod dotyku označme $\small T_i$. Z bodu $\small T$ zostrojíme kolmicu na priamku $\small XS$, päta tejto kolmice je hľadaný obraz $\small X'$. Konštrukciu je možné použiť aj pre bod ležiaceho vo vnútri kružnice $\omega$.
Kruhová inverzia je nelineárne zobrazenie, priamka až na špeciálne prípady sa nezobrazuje na priamku (priamky, ktoré neprechádzajú stredom inverzie, sa zobrazujú na kružnice).

Veta (Konformné zobrazenie).
Kruhová inverzia je konformné zobrazenie, t.j zachováva veľkosť uhla $\small \angle SAB \simeq \angle SB'A'$. Pozrite si obrázok "Konformné zobrazenie".

Dôkaz.
Z definície kruhovej inverzie vyplýva
$\small |SA | \cdot |SA'| = |SB | \cdot |SB'| = r^2 \Rightarrow \frac{|SA' |}{|SB' |}= \frac{|SB| }{|SA|}$
Teda trojuholníky $\small ABS,BAS$ majú spoločný uhol pri vrchole, sú podľa vety $sus$ podobné.

Tvrdenie (Obraz priamky a kružnice).
Body priamky prechádzajúcej stredom inverzie $\small S$ sa zobrazujú opäť na túto priamku.

applet
Obr. Obraz priamky

Dôkaz
Ide vlastne o špeciálny prípad vety o konformnom zobrazení, keď bod $B$ leží na kolmici k polpriamke $\small \overrightarrow {SA}$. Zrejme platí
$\small |SP | \cdot |SP'| = |SX | \cdot |SX'| = r^2 \Rightarrow \frac{|SP' |}{|SX' |}= \frac{|SX| }{|SP|}$,
lebo trojuholníky $\small SAB,SB'A'$ sú podobné. Uhol pri vrchole $\small X'$ je pravý, preto bod $\small B'$je zrejme bodom Thálesovej kružnice.

Dôsledky.

1. Obrazom priamky $p$, ktorá neprechádza stredom inverzie je kružnica $p$ prechádzajúca stredom $\small S$.
2. Obrazom kružnice prechádzajúcej stredom inverzie je priamka, ktorá neprechádza stredom inverzie.
3. Samodružnými bodmi sú body určujúcej kružnice $\omega$.
4. Samodružnými priamkami sú priamky prechádzajúce stredom inverzie.
5. Samodružné kružnice sú tie, ktoré ortogonálne pretínajú určujúcu kružnicu. Dôkaz si môžete pozrieť v práci [JAN].

Dôkazy týchto dôsledkov sa opierajú o involútornosť kruhovej inverzie.

Tvrdenie (Obraz kružnice neprechádzajúcej stredom $\small S$).
Obrazom kružnice, ktorá neprechádza stredom inverzie $\small S$ je kružnica.

Dôkaz. Využite mocnosť bodu $\small S$ ku kružniciam $k$ a $k'$.

Poznámka.
Z obrázku "Obraz kružnice" je zrejmá jedna typická ale často opomínaná vlastnosť kruhovej inverzie:
Obrazom stredu kružnice $k$ nie je stred kružnice $k'$.

Apolloniova úloha.
Zostrojte kružnicu dotýkajúcu sa troch geometrických útvarov: bodu - $\small B$, priamky - $p$, kružnice - $k$.

1. Existuje celkove desať možných kombinácií. Napr. $\small Bpp$ znamená zostrojiť kružnicu, ktorá prechádza bodom a dotýka sa dvoch priamok. Dotyk s bodom znamená incidenciu s ním.
2. Najjednoduchšie prípady nastanú, keď sú dané tri body alebo tri priamky; tieto prípady vyriešil Euklides vo svojich Základoch. Apolloniove úlohy patria dodnes k najpríťažlivejším úlohám syntetickej geometrie.

Historické poznámky.

1. O dotyku kružníc údajne písal už Archimedes. Jeho spis sa však nezachoval. Taktiež sa nezachoval dvojzväzkový pôvodný spis Apollonia z Pergy (262?-190? pred n. l.) „O dotykoch".
2. Zmienil sa o ňom Pappos okolo roku 320, podľa ktorého Apollonios vyriešil všetky úlohy s výnimkou prípadu troch kružníc.
3. Úlohu s tromi kružnicami riešil ako prvý F. Viete (1540-1603) v spise „Apollonius Gallus" (Paríž, r. 1600). V riešení použil stredy rovnoľahlosti troch kružníc.
4. Vo všeobecnom prípade je osem výsledkov. Ak sa dané tri kružnice navzájom dotýkajú, riešenia sú dve (tzv. Soddyho kružnice).

Pozrite si prácu [SKL].

Metódy riešenia Apolloniovej úlohy

1. Množina bodov danej vlastnosti - napr. $\small BBB$ - Euklidove Základy Kniha 4, Tvrdenie V.
2. Rovnoľahlosť - úloha $\small Bpp$.
   
   
   
   
3. Kruhová inverzia - úloha $\small BBk$
   
   
   
   
4. Gergonnovo riešenie (Gergonne, Joseph Diaz (19. 6. 1771-4. 5. 1859), francúzsky matematik a astronóm).