Geometria kružnice
Zobrazenia
Afinita
Geometrické zobrazenia
v euklidovskej rovine
môžeme skúmať aj podľa počtu a druhu samodružných prvkov.
![\small f \small f](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/df1fe5f690b61b794f6b605a819d91f2.png)
![\small \mathbb E_2 \small \mathbb E_2](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/6361000451a13c2ea0a255acc82f85ff.png)
Definícia (Samodružné prvky).
- Samodružný bod
je bod, ktorý sa pri zobrazení
zobrazí sám na seba. Platí:
.
- Samodružná priamka
je priamka, ktorá sa pri zobrazení
zobrazí sama na seba
. Zároveň existuje bod
, ktorý sa zobrazí do bodu
.
- Priamka samodružných bodov je priamka, kde každý jej bod je samodružný. Pre každý bod na priamke platí X = X'. Hovoríme o bodovo samodružnej priamke.
Zvoľme si v euklidovskej rovine
dve rôznobežné priamky
. Pozrite si obrázok Afinita. Budeme skúmať geometrické zobrazenie
s vlastnosťami
Obr. Afinita
![\small \mathbb E_2 \small \mathbb E_2](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/6361000451a13c2ea0a255acc82f85ff.png)
![\small o=PQ, s=AA' \small o=PQ, s=AA'](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/2194ba5d0534a1e62e71b46028b041fe.png)
![\small OA \small OA](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/04bdfa0ab6d993be4ce11ec126125914.png)
- Obrazom ľubovoľného bodu
je ten istý bod
, priamka
je bodovo samodružná..
- Obrazom ľubovoľného bodu
je bod
, ktorý leží na priamke
.
- Obrazom priamky
je priamka
, pričom bod
je samodružný. V prípade rovnobežnosti
je tiež
(bod 1 je nevlastný).
- Obrazom priamky rovnobežnej s priamkou
je tá istá priamka, priamka je samodružná.
- Takéto zobrazenie je zrejme bijektívne zobrazenie euklidovskej roviny. Budeme ho nazývať osová afinita v rovine.
Obr. Afinita
Vlastnosti.
- osová afinita je jednoznačne určená priakou
a dvojicou odpovedajúcich si bodov
,
- priamku
nazývame os afinity a priamku
nazývame smer afinity,
- osová afinita zachováva incidenciu, rovnobežnosť a deliaci pomer troch kolineárnych bodov. Dôkaz je založený na vlastnosti podobných trojuholníkov. Pozrite si prácu [PLICH].
Osovú afinitu môžeme využiť aj pri dôkazoch niektorých vlastností všeobecných trojuholníkov. Stačí ak dokážeme určiť osovú afinitu, v ktorej sa daný všeobecný trojuholník zobrazí na rovnostraný trojuholník. Keďže osová afinita zachováva incidenciu a deliaci pomer (špeciálne stred úsečky sa zobrazí do stredu úsečky), tak napríklad vlastnosť ťažníc stačí dokázať len pre rovnostranný trojuholník.
Uvedieme konštrukciu ako takúto osová afinitu určuíť.
Uvedieme konštrukciu ako takúto osová afinitu určuíť.
Cvičenie.
Určte OA tak, aby sa všeobecný trojuholník
zobrazil do rovnostranného trojuholníka
. Riešenie nájdete Tu.
Určte OA tak, aby sa všeobecný trojuholník
![\small ABC \small ABC](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/1185d08b7f77596d06c72d73d59c3d36.png)
![\small A'B'C' \small A'B'C'](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/762ad7e9497eb33441f64b829b52d18d.png)
Riešené príklady.
Osová afinita je daná osou
a dvojicou odpovedajúcich bodov ![(\small A, A' (\small A, A'](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/b8d542ab55f4796f977273c2b9f45288.png)
.
Zostrojte bod
, ktorý je obrazom daného bodu
. Nech
je priamka určená bodmi
. Uvažujme dva prípady:
Osová afinita je daná osou
![o o](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/057847a3ccfac155db00ca47aa3a8edc.png)
![(\small A, A' (\small A, A'](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/b8d542ab55f4796f977273c2b9f45288.png)
![) )](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/9371d7a2e3ae86a00aab4771e39d255d.png)
![\small B' \small B'](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/55d8defe55ee610a5618c9e1ae9cfbda.png)
![\small B \small B](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/3b1ff0f51a143997899e795756674471.png)
![m =\small AB m =\small AB](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/17503f3d6eaf9c8e0c3c2fddeddef039.png)
![\small A, B \small A, B](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/8ae9f4daa97c341e54c423a1bba77faa.png)
- Priamka
je rôznobežná s osou
, riešenie Tu.
- Ak priamka
je rovnobežná s osou
tak použijeme konštrukciu:
- zvoľme si vhodnú priamku
prechádzajúcu bodom
, ktorá nie je rovnobežná s osou
- na priamke
si zvoľme bod
tak, aby priamka
nebola rovnobežná s osou
- obrazom priamky
je priamka
, obraz
bodu
musí ležať na priamke
- bodmi
je určená priamka
, obrazom priamky
je priamka
- obraz
bodu
musí ležať na priamke
, riešenie Tu.
- zvoľme si vhodnú priamku
Veta.
Obraz kružnice v osovej afinite je elipsa (dôkaz je jednoduchý ak využijeme metódy analytickej geometrie).
Obraz kružnice v osovej afinite je elipsa (dôkaz je jednoduchý ak využijeme metódy analytickej geometrie).
Na zostrojenie takejto elipsu môžeme využiť dva spôsoby.
- Priama konštrukcia hlavnej a vedľajšej poloosi.
Nájdením združených priemerov elipsy. Využijeme skutočnosť, že v kružnici združené priemery sú také priemery, ktoré sú vzájomne kolmé. (Priemery elipsy resp. kružnice sa nazývajú združené, ak sú dotyčnice v krajných bodoch jedného priemeru rovnobežné s druhým priemerom a naopak.) - Nepriamo pomocou Rytzovej konštrukcie.
V kružnici zvolíme dva ľubovoľné na seba kolmé priemery KL, MN a nájdeme ich obrazy K'L', M'N'. Osová afinita zachováva rovnobežnosť a deliaci pomer. Preto tvoria úsečky K'L', M'N' združené priemery elipsy. Ak poznáme dva združené priemery elipsy, využijeme na nájdenie hlavnej a vedľajšej osi Rytzovu konštrukciu. Pozrite si prácu [PLI].
Poznámka.
Vzťah osovej afinity v euklidovskej rovine si môžeme predstaviť aj ako kolmý priemet priestorovej afinity. Uvedieme definíciu osovej afinity medzi dvoma rôznobežnými rovinami v euklidovskom priestore z práce [DRA]. Pozrite si dynamický obrázok "Priestorová afinita".
Vzťah osovej afinity v euklidovskej rovine si môžeme predstaviť aj ako kolmý priemet priestorovej afinity. Uvedieme definíciu osovej afinity medzi dvoma rôznobežnými rovinami v euklidovskom priestore z práce [DRA]. Pozrite si dynamický obrázok "Priestorová afinita".
Definícia.
Uvažujme dve rôznobežné roviny
a ich priesečnicu označme
. Zvoľme ďalej smer
, ktorý je rôznobežný s oboma rovinami
. Potom priradíme navzájom body a priamky roviny
bodom a priamkam roviny
tak, že platí:
Uvažujme dve rôznobežné roviny
![\alpha, \alpha' \alpha, \alpha'](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/1d439c724db7d3a0f0d473abf22058d0.png)
![o o](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/057847a3ccfac155db00ca47aa3a8edc.png)
![s s](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/793d6602f044affad0290fdc4f61ce36.png)
![\alpha, \alpha' \alpha, \alpha'](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/8ad3f68ad7233e5780d9984b8e9d1f7c.png)
![\alpha \alpha](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/9845198045ec71aa8304372c28b24630.png)
![\alpha' \alpha'](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/dc09cc4d318cce7e9a7f5eb2690cd146.png)
- Osovú afinitu medzi dvoma rôznobežnými rovinami s výhodou využívame pri rezoch rovnobežnostena.
- Porovnajme vlastnosti osovej afinity s rezom hranola, obrázok "Rez hranola (obrázok je prevzatý s práce [PLI]).
- Rovina
zodpovedá rovine rezu, rovina
zodpovedá rovine dolnej podstavy. Smer afinity s zodpovedá smeru hrán, napríklad
. Zodpovedajúce si body sú napríklad body
. Os
je priesečnica rovín
a zodpovedá priesečnici roviny podstavy a roviny rezu.
Obr. Rez hranola