Geometria kružnice
Zobrazenia
Definícia.
Pod geometrickým zobrazením v rovine
rozumieme predpis
, ktorý ľubovoľnému bodu
priradí najviac jeden bod
.
Pod geometrickým zobrazením v rovine
![\small \mathbb E_2 \small \mathbb E_2](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/6361000451a13c2ea0a255acc82f85ff.png)
![f f](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/ce40937fdfbd06b8a15244e102a09356.png)
![\small X \in \mathbb E_2 \small X \in \mathbb E_2](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/0563579a396454fad5ddb76cccc03bc0.png)
![\small X' = f(X) \small X' = f(X)](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/62215d0e2e4992ec9a41264ce909266e.png)
V tejto kapitole sa budeme skúmať
- zhodné a podobné zobrazenia,
- osovú afinitu,
- stredovú kolineáciu,
- kruhovú inverziu.
Definícia.
Zobrazenie
nazývame zhodné zobrazenie v (
), ak pre každé dva rôzne
body
platí
,
kde
. Zhodné zobrazenia predstavujú geometrické zobrazenia euklidovskej roviny, ktoré zachovávajú incidenciu útvarov a vzdialenosť bodov (metriku).
Zobrazenie
![\small f: \mathbb{E_2} \rightarrow \mathbb{E_2} \small f: \mathbb{E_2} \rightarrow \mathbb{E_2}](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/3e543afd431525d25928f9edd47f7349.png)
![\small \mathbb{E_2} \small \mathbb{E_2}](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/c15042383f4d22e7c4248412de1510ac.png)
![\small X, Y ∈ \mathbb{E_2} \small X, Y ∈ \mathbb{E_2}](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/937ea3615819282161c686f52e36e363.png)
![\small X'Y' ≅ XY \small X'Y' ≅ XY](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/0b1d7422610f9d215fdade664265d982.png)
kde
![\small X' =f(X), Y' = f(Y ) \small X' =f(X), Y' = f(Y )](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/823676796a657b9dc6caeb52c7b1e4ee.png)
Rovinné geometrické útvary
sa nazývajú zhodné , ak existuje zhodné zobrazenie, ktoré jeden z nich zobrazí na druhý. Zhodnosť dvoch útvarov symbolicky označíme takto:
alebo takto
.
![\small U_1, U_2 \small U_1, U_2](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/69a07a82d7d46693e155ea6aa3ee35ed.png)
![\small U_1 \simeq U_2 \small U_1 \simeq U_2](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/195735484dea43c250aa3d97cfd70a0e.png)
![\small U_1 \cong U_2 \small U_1 \cong U_2](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/5c416ecf664840f41636353cf3f754af.png)
Definícia.
V euklidovskej rovine poznáme šesť typov zhodných zobrazení a to
- identitu,
- osovú súmernosť,
- stredovú súmernosť,
- otočenie (rotáciu),
- posunutie (transláciu),
- posunutú súmernosť.
Tvrdenie.
Zložením dvoch zhodných zobrazení je zhodné zobrazenie.
Zložením dvoch zhodných zobrazení je zhodné zobrazenie.
Dôkaz tohto tvrdenia prenechávame na čitateľa.
Definícia.
Nech
je daná priamka. Zobrazenie, pre ktoré platí:
Nech
![o o](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/057847a3ccfac155db00ca47aa3a8edc.png)
- obrazom bodu
ležiaceho na priamke
je bod
, ktorý je totožný s bodom
,
- obrazom bodu
neležiaceho na priamke
je bod
, pre ktorý platí, že priamka
je kolmá na priamku
a stred úsečky
leží na priamke
,
nazývame osová súmernosť, - Priamku
nazývame os osovej súmernosti. Osovú súmernosť s osou
budeme označovať symbolom
.
Cvičenie.
Je daná priamka
a body
ležiace v tej istej polrovine s hraničnou priamkou
. Určte bod
tak, aby súčet
bol čo najmenší.
Riešenie Tu.
Je daná priamka
![p p](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/74d37d601e20578216a4981034dde4bc.png)
![\small A, B \small A, B](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/8ae9f4daa97c341e54c423a1bba77faa.png)
![p p](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/74d37d601e20578216a4981034dde4bc.png)
![\small X ∈ p \small X ∈ p](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/4b4f1a1f5abcf98177e83fe7e8b05da1.png)
![\small AX+ BX \small AX+ BX](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/ae3024630fa9d4a374abe656e5a57025.png)
Riešenie Tu.