Polohové stereometrické úlohy - priečky
PSU
Prienik priamky s telesom
Prienik priamky
s telesom
zostrojíme podobne, ako prienik priamky s rovinou.
1. Danou priamkou
preložíme vhodnú pomocnú rovinu
.
2. Urobíme rez telesa
touto rovinou.
3. Prienik rezu – mnohouholníka s priamkou
je hľadaný prienik priamky s telesom.
![p p](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/74d37d601e20578216a4981034dde4bc.png)
![T T](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/39300282214603edc7b46a69b156bdcb.png)
1. Danou priamkou
![p p](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/74d37d601e20578216a4981034dde4bc.png)
![\sigma \sigma](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/464a9b06c5dead434516526cc2ec5263.png)
2. Urobíme rez telesa
![T T](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/b9ece18c950afbfa6b0fdbfa4ff731d3.png)
3. Prienik rezu – mnohouholníka s priamkou
![p p](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/74d37d601e20578216a4981034dde4bc.png)
Do kocky
je vložený štvorboký ihlan
, kde bod
je stred hornej podstavy. Na polpriamke
za bodom
leží bod
; na polpriamke
za bodom
leží bod
. Zostrojte prienik (úsečku
) priamky
s ihlanom
. Určte jej skutočnú dĺžku, ak
.
![ABCDEFGH ABCDEFGH](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/4783e784b4fa2fba9e4d6502dbc64f8f.png)
![ABCDV ABCDV](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/1f5e93c221a173f4600c7d6f46a1e6e1.png)
![V V](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/5206560a306a2e085a437fd258eb57ce.png)
![DA DA](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/03895f91b58717b678dd94bd941d7a72.png)
![A A](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/7fc56270e7a70fa81a5935b72eacbe29.png)
![K K](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/a5f3c6a11b03839d46af9fb43c97c188.png)
![FG FG](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/2a5271c118492b7bb2274dd278a033ba.png)
![G G](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/dfcf28d0734569a6a693bc8194de62bf.png)
![M M](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/69691c7bdcc3ce6d5d8a1361f22d04ac.png)
![PQ PQ](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/08d6d8834ad9ec87b1dc7ec8148e7a1f.png)
![KM KM](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/dd480f25b31ec27223fee2c6edcacb3c.png)
![ABCDV ABCDV](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/1f5e93c221a173f4600c7d6f46a1e6e1.png)
![|AB| =1 |AB| =1](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/e28a13e13de44be581755fe65dedeb58.png)
Komentár k riešeniu
Priamku
umiestnime do pomocnej roviny
. Rovinu určíme priamkou
a rovnobežkou
, pričom platí:
.
Rezom ihlana
rovinou
je trojuholník
, kde
.
Prienik priamky
so stranami
sú hľadané priesečníky
.
Ku konštrukcii skutočnej dĺžky
musíme zostrojiť najskôr štvorec
a potom prenášať úsečky s odpovedajúcimi rozmermi. V tomto prípade je urobená konštrukcia len pre prípad ak bod
je bodom úsečky
.
![KM KM](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/dd480f25b31ec27223fee2c6edcacb3c.png)
![\sigma=VKM \sigma=VKM](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/95e94d766cc09fee1406aefdedc5d8c1.png)
![VM VM](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/583a65df9db4119165f5ea0abaa50281.png)
![r r](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/4b43b0aee35624cd95b910189b3dc231.png)
![r∥VM, K∈r r∥VM, K∈r](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/85bede73994e76491608731b863b3c6d.png)
![ABCDV ABCDV](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/1f5e93c221a173f4600c7d6f46a1e6e1.png)
![VKM VKM](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/427328c99decc1737e0ab744ecb2e56b.png)
![UWV UWV](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/7bb81dcd06b3affb1b5c8a1eaafd9fad.png)
![{U} = r ∩ AB, {W} = r ∩ BC {U} = r ∩ AB, {W} = r ∩ BC](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/53939099b36d2186690cb42ea0c1610d.png)
![KL KL](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/7e9293e90055a83d4943872232ff638f.png)
![UV, VW UV, VW](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/80780da238b28aaffb5af97657398ba5.png)
![P, Q P, Q](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/ec7d79e246b4968d7d6a2dd96427bb7d.png)
![PQ PQ](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/08d6d8834ad9ec87b1dc7ec8148e7a1f.png)
![ABCD ABCD](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/cb08ca4a7bb5f9683c19133a84872ca7.png)
![W W](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/61e9c06ea9a85a5088a499df6458d276.png)
![BC BC](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/f85b7b377112c272bc87f3e73f10508d.png)
Učiteľ
Musí mať na zreteli, že úlohy tohto typu sú pomerne náročné aj pre stredoškolákov. Preto je vhodné na SŠ zadávať presné údaje v zadaní. Napr. v tejto úlohe by sme dodali, že bod
je vzdialený od bodu
o polovicu veľkosti strany štvorca, podobne aj bod
. V takom prípade sa rovina rezu rovina prechádza stredom hornej podstavy a rovnobežka
prechádza stredom dolnej podstavy, čo významnou mierou uľahčuje zostrojenie rezu.
Pri konštrukciách typu "zostrojte skutočnú veľkosť" učiteľ by mal pripomenúť študentom, že aj vo VRP sa zachováva podielový pomer. Niekedy stačí pripomenúť, že stred úsečky sa zobrazí do stredu úsečky. Dobré je tiež pripomenúť aj konštrukciu
delenia úsečky na rovnaké časti pomocou rovnobežiek.
![K K](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/a5f3c6a11b03839d46af9fb43c97c188.png)
![A A](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/7fc56270e7a70fa81a5935b72eacbe29.png)
![M M](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/69691c7bdcc3ce6d5d8a1361f22d04ac.png)
![r r](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/4b43b0aee35624cd95b910189b3dc231.png)