Polohové stereometrické úlohy - priečky
Site: | Virtuálna Univerzita Mateja Bela |
Course: | Planimetria a stereometria N |
Book: | Polohové stereometrické úlohy - priečky |
Printed by: | Guest user |
Date: | Wednesday, 3 July 2024, 10:25 AM |
Description
PSU
Základné typy úloh
Ďalšie polohové konštrukčné úlohy sú:
- priesečník priamky s rovinou
- prienik priamky s telesom
- priečka, resp. os, dvoch mimobežiek
Priesečník priamky
(rôznobežnej) s rovinou
sa konštrukčne rieši týmto spôsobom
1. priamkou
preložíme pomocnú rovinu
, ktorá je s rovinou
rôznobežná
2. určíme priesečnicu
rovín
3. priesečník
priamok
je hľadaným bodom
![p p](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/74d37d601e20578216a4981034dde4bc.png)
![\alpha \alpha](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/9845198045ec71aa8304372c28b24630.png)
1. priamkou
![p p](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/74d37d601e20578216a4981034dde4bc.png)
![\beta \beta](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/2fa6e1a5937d65ac9e67f692cebcddef.png)
![\alpha \alpha](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/9845198045ec71aa8304372c28b24630.png)
2. určíme priesečnicu
![r r](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/1af9dcecc465950e25f7153943970180.png)
![\alpha, \beta \alpha, \beta](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/129040bc966cff8a092e84ff7b47a9e3.png)
3. priesečník
![P P](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/418ddcc4ac5d1150e5b90cce6b71e14c.png)
![p, r p, r](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/9b8d53ce72f32808e72a435406c95017.png)
Komentár k riešeniu
Priamku
umiestnime do vhodnej pomocnej roviny
, ktorú ľahko vieme zostrojiť (napr. rovnobežnú s hranou kocky).
V tomto príklade je to rovina
. Rovina
sa nazýva premietajúca.
Priesečnica rovín
je určená bodmi
, pričom priamka
je rovnobežná s priamkou
Priesečnica
leží v tej istej rovine ako priamka
, preto existuje ich spoločný
priesečník
.
![BH BH](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/c8acead81177aba6e4d1f3179d714063.png)
![\beta \beta](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/2fa6e1a5937d65ac9e67f692cebcddef.png)
![\beta=BDHF \beta=BDHF](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/8acef6e75e39e3903636a550432ad1e4.png)
![\beta \beta](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/2fa6e1a5937d65ac9e67f692cebcddef.png)
![\beta ∩ \alpha \beta ∩ \alpha](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/41c16593374484c4078859f7014d73ee.png)
![K, R K, R](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/4d1e17542a10fe1bc96152e233bde3f9.png)
![AR AR](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/3dc05d4336b9a8d287db6909e588e0cd.png)
![KL KL](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/ba862296e88c8589d2d4ea3679d56d83.png)
![RK RK](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/065ca08ed7a4fa45c56ebe94d95d331a.png)
![BH BH](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/c8acead81177aba6e4d1f3179d714063.png)
![P P](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/418ddcc4ac5d1150e5b90cce6b71e14c.png)
Učiteľ zdôrazňuje:
Rezom premietajúcej roviny s hranolom musí byť rovnobežník. →
Pri ihlane volíme "vrcholovú rovinu", rovinu určenú priamkou a vrcholom ihlana. Rezom vrcholovej roviny je najčastejšie trojuholník.
Prienik priamky s telesom
Prienik priamky
s telesom
zostrojíme podobne, ako prienik priamky s rovinou.
1. Danou priamkou
preložíme vhodnú pomocnú rovinu
.
2. Urobíme rez telesa
touto rovinou.
3. Prienik rezu – mnohouholníka s priamkou
je hľadaný prienik priamky s telesom.
![p p](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/74d37d601e20578216a4981034dde4bc.png)
![T T](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/39300282214603edc7b46a69b156bdcb.png)
1. Danou priamkou
![p p](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/74d37d601e20578216a4981034dde4bc.png)
![\sigma \sigma](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/464a9b06c5dead434516526cc2ec5263.png)
2. Urobíme rez telesa
![T T](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/b9ece18c950afbfa6b0fdbfa4ff731d3.png)
3. Prienik rezu – mnohouholníka s priamkou
![p p](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/74d37d601e20578216a4981034dde4bc.png)
Do kocky
je vložený štvorboký ihlan
, kde bod
je stred hornej podstavy. Na polpriamke
za bodom
leží bod
; na polpriamke
za bodom
leží bod
. Zostrojte prienik (úsečku
) priamky
s ihlanom
. Určte jej skutočnú dĺžku, ak
.
![ABCDEFGH ABCDEFGH](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/4783e784b4fa2fba9e4d6502dbc64f8f.png)
![ABCDV ABCDV](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/1f5e93c221a173f4600c7d6f46a1e6e1.png)
![V V](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/5206560a306a2e085a437fd258eb57ce.png)
![DA DA](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/03895f91b58717b678dd94bd941d7a72.png)
![A A](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/7fc56270e7a70fa81a5935b72eacbe29.png)
![K K](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/a5f3c6a11b03839d46af9fb43c97c188.png)
![FG FG](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/2a5271c118492b7bb2274dd278a033ba.png)
![G G](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/dfcf28d0734569a6a693bc8194de62bf.png)
![M M](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/69691c7bdcc3ce6d5d8a1361f22d04ac.png)
![PQ PQ](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/08d6d8834ad9ec87b1dc7ec8148e7a1f.png)
![KM KM](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/dd480f25b31ec27223fee2c6edcacb3c.png)
![ABCDV ABCDV](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/1f5e93c221a173f4600c7d6f46a1e6e1.png)
![|AB| =1 |AB| =1](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/e28a13e13de44be581755fe65dedeb58.png)
Komentár k riešeniu
Priamku
umiestnime do pomocnej roviny
. Rovinu určíme priamkou
a rovnobežkou
, pričom platí:
.
Rezom ihlana
rovinou
je trojuholník
, kde
.
Prienik priamky
so stranami
sú hľadané priesečníky
.
Ku konštrukcii skutočnej dĺžky
musíme zostrojiť najskôr štvorec
a potom prenášať úsečky s odpovedajúcimi rozmermi. V tomto prípade je urobená konštrukcia len pre prípad ak bod
je bodom úsečky
.
![KM KM](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/dd480f25b31ec27223fee2c6edcacb3c.png)
![\sigma=VKM \sigma=VKM](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/95e94d766cc09fee1406aefdedc5d8c1.png)
![VM VM](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/583a65df9db4119165f5ea0abaa50281.png)
![r r](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/4b43b0aee35624cd95b910189b3dc231.png)
![r∥VM, K∈r r∥VM, K∈r](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/85bede73994e76491608731b863b3c6d.png)
![ABCDV ABCDV](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/1f5e93c221a173f4600c7d6f46a1e6e1.png)
![VKM VKM](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/427328c99decc1737e0ab744ecb2e56b.png)
![UWV UWV](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/7bb81dcd06b3affb1b5c8a1eaafd9fad.png)
![{U} = r ∩ AB, {W} = r ∩ BC {U} = r ∩ AB, {W} = r ∩ BC](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/53939099b36d2186690cb42ea0c1610d.png)
![KL KL](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/7e9293e90055a83d4943872232ff638f.png)
![UV, VW UV, VW](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/80780da238b28aaffb5af97657398ba5.png)
![P, Q P, Q](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/ec7d79e246b4968d7d6a2dd96427bb7d.png)
![PQ PQ](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/08d6d8834ad9ec87b1dc7ec8148e7a1f.png)
![ABCD ABCD](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/cb08ca4a7bb5f9683c19133a84872ca7.png)
![W W](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/61e9c06ea9a85a5088a499df6458d276.png)
![BC BC](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/f85b7b377112c272bc87f3e73f10508d.png)
Učiteľ
Musí mať na zreteli, že úlohy tohto typu sú pomerne náročné aj pre stredoškolákov. Preto je vhodné na SŠ zadávať presné údaje v zadaní. Napr. v tejto úlohe by sme dodali, že bod
je vzdialený od bodu
o polovicu veľkosti strany štvorca, podobne aj bod
. V takom prípade sa rovina rezu rovina prechádza stredom hornej podstavy a rovnobežka
prechádza stredom dolnej podstavy, čo významnou mierou uľahčuje zostrojenie rezu.
Pri konštrukciách typu "zostrojte skutočnú veľkosť" učiteľ by mal pripomenúť študentom, že aj vo VRP sa zachováva podielový pomer. Niekedy stačí pripomenúť, že stred úsečky sa zobrazí do stredu úsečky. Dobré je tiež pripomenúť aj konštrukciu
delenia úsečky na rovnaké časti pomocou rovnobežiek.
![K K](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/a5f3c6a11b03839d46af9fb43c97c188.png)
![A A](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/7fc56270e7a70fa81a5935b72eacbe29.png)
![M M](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/69691c7bdcc3ce6d5d8a1361f22d04ac.png)
![r r](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/4b43b0aee35624cd95b910189b3dc231.png)
Priečka dvoch mimobežiek
Priečka dvoch mimobežiek
je priamka, ktorá pretína obe dané priamky
. Priečka je aj úsečka s krajnými bodmi ležiacimi na priamkach
.
Dve mimobežky majú nekonečne veľa priečok. Existuje jedna priečka, ktorá je súčasne kolmá na obe priamky
. Hovoríme jej os mimobežiek.
![p, q p, q](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/6fbf211225d123768e7abf6936216532.png)
![p, q p, q](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/6fbf211225d123768e7abf6936216532.png)
![p, q p, q](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/6fbf211225d123768e7abf6936216532.png)
Dve mimobežky majú nekonečne veľa priečok. Existuje jedna priečka, ktorá je súčasne kolmá na obe priamky
![p, q p, q](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/6fbf211225d123768e7abf6936216532.png)
Rozlišujeme tieto základné kategórie úloh
-
zostrojiť priečku dvoch mimobežiek
prechádzajúcu daným bodom
-
zostrojiť priečku dvoch mimobežiek
rovnobežnú s danou priamkou
-
zostrojiť os dvoch mimobežiek
.
Medzi metrické úlohy zaraďujeme
- Odchýlka dvoch priamok, dvoch rovín resp. priamky a roviny
- Kolmosť priamok a rovín
- Objemy a povrchy telies
Priečka idúca bodom
Úloha prvého typu
Zostrojte priečku mimobežiek
prechádzajúcu bodom
.
Polohu bodu
spresňuje jeho kolmý priemet
do dolnej podstavy kocky
.
Zostrojte priečku mimobežiek
![AB, EC AB, EC](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/237172871c0306b0b33dacef2d384243.png)
![P P](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/44c29edb103a2872f519ad0c9a0fdaaa.png)
Polohu bodu
![P P](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/44c29edb103a2872f519ad0c9a0fdaaa.png)
![P_0 P_0](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/5b7c5aa2a2a15bd892afe579eef0906e.png)
![ABCDEFGH ABCDEFGH](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/4783e784b4fa2fba9e4d6502dbc64f8f.png)
Komentár k appletu
Myšlienka riešenia je založená na tom, že daným bodom
a priamkou
položíme rovinu, ktorá pretne druhú danú priamku
v bode, ktorý je bodom hľadanej priečky.
V tejto úlohe sme daným bodom
položili rovinu
.
Myšlienka riešenia je založená na tom, že daným bodom
![P P](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/44c29edb103a2872f519ad0c9a0fdaaa.png)
![q q](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/56d8dc56c5bd86939626322aaa16eb75.png)
![p p](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/d572956b265c891bdb3bacbcca08e1fd.png)
V tejto úlohe sme daným bodom
![P P](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/a558768e7085a18e7f852c84a21a32a1.png)
![α = (P, q)=(CKE) α = (P, q)=(CKE)](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/aae101a6927d5a0551f19307d61c1ae0.png)
-
Priesečník
roviny
je bodom priečky mimobežiek.
- Postup riešenia aktivujte pomocou navigačného panelu.
Priečka rovnobežná so smerom
Komentár k appletu
Myšlienka riešenia je založená na tom, že zostrojíme pomocnú rovinu prechádzajúcu jednou z daných mimobežiek, ktorá bude rovnobežná so smerom
.
V tejto úlohe sme zostrojili pomocnú rovinu
, kde
Myšlienka riešenia je založená na tom, že zostrojíme pomocnú rovinu prechádzajúcu jednou z daných mimobežiek, ktorá bude rovnobežná so smerom
![v v](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/9e3669d19b675bd57058fd4664205d2a.png)
V tejto úlohe sme zostrojili pomocnú rovinu
![α = (A,F,1) α = (A,F,1)](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/211ca087640acfd6cfe3439c8ba9d33c.png)
![F1∥EC F1∥EC](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/2454a2eeb3d1224c78073f46bd78747e.png)
- Pomocná rovina pretne druhú danú mimobežku
v bode
hľadanej priečky.
- Úsečka
rovnobežná so smerom
je priečka mimobežiek.
- Nie vždy existuje priečka dvoch mimobežiek rovnobežná s daným smerom.
Os mimobežiek
Komentár k appletu
Myšlienka riešenia je založená na tom, že zostrojíme pomocnú rovinu
, ktorá bude rovnobežná s mimobežkou
.
Myšlienka riešenia je založená na tom, že zostrojíme pomocnú rovinu
![EFC EFC](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/9480e2e574445b33289ba4966ea27f26.png)
![AB AB](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/1adf0dd5f50ee0a80071e68f76f9da94.png)
-
Na rovinu
zostrojíme kolmicu
idúcu bodom
.
-
Roviny
majú spoločnú priamku
, na ktorej leží jeden z bodov osi mimobežiek.
- Priečka
je rovnobežná s
, ktorá je zrejme kolmá na obidve mimobežky.
Cvičenie
Kváder vo VRP Tu.
Priesečník priamky s rovinou
- ♥ Daná je kocka
. Zostrojte priesečník priamky
s rovinou
. Zadanie Tu Riešenie Tu
- Daný je trojboký hranol
, rovina
sú v danom poradí vnútorné body hrán
a bod
, ktorý je vnútorným bodom trojuholníka
.
Zostrojte priesečník priamkys rovinou
. Zvoľte si
. Riešenie →
-
Je daná kocka
, rozhodnite o vzájomnej polohe roviny a priamky, v prípade rôznobežnosti nájdite priesečník.
Prienik priamky s telesom
- Zostrojte priesečníky priamky a s pravidelným šesťbokým hranolom
, ktorého výška je zhodná s hlavnou uhlopriečkou podstavy.
je stred dolnej podstavy,
. →
- Zbierka úloh zo stereometrie → str. 3, úloha 35
- ♥ Je daná kocka
. Zostrojte priesečníky priamky
s kockou. Bod
leží na
za bodom
. Bod
leží na
za bodom
. Zadanie →
Priečka dvoch mimobežiek;
-
Výberové úlohy (môžete získať za každé správne riešenie plusový bod). Daná je kocka
. Zostrojte priečku
a) priamok, kde
prechádzajúcu bodom
,
b) priamokprechádzajúcu bodom
, ak pre body
platí:
.
- Nevýberové úlohy. Daný je rovnobežnosten
. Zostrojte:
- Nevýberové úlohy. Je daná kocka
. Zostrojte priečku mimobežiek
rovnobežnú so smerom
, kde
je stred kocky a
leží na
za bodom
. Zadanie →
-
Nevýberové úlohy. Nech
je stred hrany
a bod
stred hrany
kocky
. Zostrojte os mimobežiek
. Zadanie. .
-
Nevýberové úlohy. Nech
sú body na hranách kocky
. Zostrojte os mimobežiek
. Zadanie.
Metrické úlohy
- V kocke
je bod
stredom hrany
. Bodom
zostrojte rovinu kolmú na priamku
a určte vzdialenosť bodu
od priamky
FK.
- Je daná kocka
s hranou
. Vypočítajte vzdialenosti: