Polohové stereometrické úlohy - priečky

Definícia.
Priečka dvoch mimobežiek (mimobežných priamok) je priamka, ktorá pretína obe dané priamky. Priečka je aj úsečka s krajnými bodmi ležiacimi na daných mimobežkách.
Dve mimobežky majú nekonečne veľa priečok. Existuje jedna priečka, ktorá je súčasne kolmá na obe mimobežné priamky. Hovoríme jej os mimobežiek.

Rozlišujeme tieto základné kategórie úloh

1. Zostrojenie priečky dvoch mimobežiek prechádzajúcu daným bodom.
2. Zostrojenie priečky dvoch mimobežiek rovnobežnú s danou priamkou.
3. Zostrojenie osi dvoch mimobežiek.

Prvé dve kategórie sú polohové stereometrické úlohy a tretia kategória predstavuje metrické stereometrické úlohy. 

Medzi metrické úlohy zaraďujeme

1. Odchýlka dvoch priamok, dvoch rovín resp. priamky a roviny
2. Kolmosť priamok a rovín
3. Objemy a povrchy telies  

Úloha prvého typu.

Cvičenie.
Zostrojte priečku mimobežiek $\small AB, EC$ prechádzajúcu bodom $\small P$.

Polohu bodu $\small P$ spresňuje jeho kolmý priemet $\small P_0$ do dolnej podstavy kocky $\small ABCDEFGH$. Príklad 1

Komentár k appletu.

1. Myšlienka riešenia je založená na tom, že daným bodom $\small P$ a priamkou $q$ preložíme rovinu, ktorá pretne druhú danú priamku $p$ v bode $\small M$, ktorý je bodom hľadanej priečky.
2. V tejto úlohe sme daným bodom preložili rovinu $α = (\small P, q)=(\small CKE)$.
3. Priesečník $\small L$ roviny $α$ je bodom priečky mimobežiek.
4. Applet je dostupný Tu.

Úloha druhého typu.

Cvičenie.
Zostrojte priečku mimobežiek $\small MN$ priamok $\small AF, BG$ rovnobežnú so smerom $v=\small EC$.

Popis obrázka

Komentár k appletu.

1. Myšlienka riešenia je založená na tom, že zostrojíme pomocnú rovinu prechádzajúcu jednou z daných mimobežiek, ktorá bude rovnobežná so smerom $v$.
2. V tejto úlohe sme zostrojili pomocnú rovinu $α = (\small A,F,1)$, kde $\small F1∥EC$.
3. Pomocná rovina pretne druhú danú mimobežku $\small BG$ v bode $\small M$ hľadanej priečky.
4. Úsečka $MN$ rovnobežná so smerom $\small EC$ je priečka mimobežiek.
5. Nie vždy existuje priečka dvoch mimobežiek rovnobežná s daným smerom.

Úloha tretieho typu.

Cvičenie.
Daný je kváder $\small ABCDEFGH$, bod $\small Q$ je stred hrany $\small EF$. Zostrojte os mimobežiek $\small AB, CQ$.

Komentár k appletu.

1. Myšlienka riešenia je založená na tom, že zostrojíme pomocnú rovinu $EFC$, ktorá bude rovnobežná s mimobežkou $AB$.
2. Na rovinu $EFC$ zostrojíme kolmicu $B1$ idúcu bodom $B$.
3. Roviny $EFC, AB1$ majú spoločnú priamku $12$, na ktorej leží jeden z bodov osi mimobežiek.
4. Priečka $34$ je rovnobežná s $B1$, ktorá je zrejme kolmá na obidve mimobežky.

Priesečník priamky s rovinou.

1. ♥ Daná je kocka $A-H$. Zostrojte priesečník priamky $p = DF$ s rovinou $\rho = BEG$. Zadanie Tu Riešenie Tu
   
2. Daný je trojboký hranol $ABCA'B'C'$, rovina $\alpha = MNP (M, N, P$ sú v danom poradí vnútorné body hrán $AA', BB', CC')$ a bod $L$, ktorý je vnútorným bodom trojuholníka $A'B'C'$.
   Zostrojte priesečník priamky $CL$ s rovinou $\alpha$. Zvoľte si $(AA'M) ≠ (BB'N) ≠ (CC'P) ≠ (AA'M)$. Riešenie →
3. Je daná kocka $A-H$, rozhodnite o vzájomnej polohe roviny a priamky, v prípade rôznobežnosti nájdite priesečník.
   • $BH, ACE$ →
   • $EC, ABH$
   • $FH, BDH$
   • $EC, ABH$

Prienik priamky s telesom

1. Zostrojte priesečníky priamky a s pravidelným šesťbokým hranolom $ABCDEA'B'C'D'E'$, ktorého výška je zhodná s hlavnou uhlopriečkou podstavy.
   $[a = MN, (SMC)=-1, S$ je stred dolnej podstavy, $(E'NF') = -1]$. →
2. Zbierka úloh zo stereometrie → str. 3, úloha 35
3. ♥  Je daná kocka $ABCDEFGH$. Zostrojte priesečníky priamky $PQ$ s kockou. Bod $P$ leží na $AB$ za bodom $B$. Bod $Q$ leží na $GH$ za bodom $H$. Zadanie →

Priečka dvoch mimobežiek

1. Daný je rovnobežnosten $ABCDEFGH$. Zostrojte:
• priečku priamok $BH, FG$ prechádzajúcu bodom $A$ Zadanie →                              . 
• priečku priamok $AB , FH$ rovnobežnú s priamkou $AG$ →
2. Je daná kocka $ABCDEFGH$. Zostrojte priečku mimobežiek $AE, BG$ rovnobežnú so smerom $SM$, kde $S$ je stred kocky a $M$ leží na $AB$ za bodom $B$. Zadanie →
3. Nech $K$ je stred hrany $GH$ a bod $L$ stred hrany $BF$ kocky $ABCDEFGH$. Zostrojte os mimobežiek $EK, LC$. Zadanie.   .
4. Nech $K \in EF;L \in GH;P \in BF;Q \in CG$ sú body na hranách kocky $ABCDEFGH$. Zostrojte os mimobežiek $KL, PQ$. Zadanie.
5. Výberové úlohy (môžete získať za každé správne riešenie plusový bod). Daná je kocka $\small ABCDEFGH$ . Zostrojte priečku
   a) priamok $\small AH, CR$, kde $\small R \in EF$ prechádzajúcu bodom $\small M: (CDM )= 2/5$,
   b) priamok $\small PQ, DH$ prechádzajúcu bodom $\small B$, ak pre body $\small P,Q$ platí:$\small  ( AHP)=- 1 , (GHQ)=2$. 

Metrické úlohy

1. V kocke $ABCDEFGH$ je bod $K$ stredom hrany $DH$. Bodom $A$ zostrojte rovinu kolmú na priamku $FK$ a určte vzdialenosť bodu $A$ od priamky $A-H$FK.
2. Je daná kocka $A-H$ s hranou $a = 4cm$. Vypočítajte vzdialenosti:
• dvoch bodov $v(A, S_{GH})$ $v(S_{AF}, S_{BG} )$
• bodu a priamky $v(H ↔AS_{CG} )$ $v(A ↔FH )$
• bodu a roviny $v(E ↔S_{EH} S_{EF} S_{AB} )$.