Planimetria a stereometria

Cvičenie.
Zostrojte obraz kružnice $k(O,r)$ v stredovej kolineácii $\mathscr{K}(S, o,u)$, ak kružnica $k$ má s úbežnicou $u$ dva spoločné body: $k \cap u = {U,V}$ a os kolineácie pretína v dvoch bodoch $X_u, X_v$.

Riešenie
Keďže kružnica $k$ má s úbežnicou $u$ spoločné dva body, tak obrazom bude hyperbola.

1. Na jej zostrojenie nám stačí, ak poznáme jej asymptoty a jej hlavné vrcholy.
2. Zostrojme dotyčnice $a_u, a_v$ v bodoch $U,V$ ku kružnici $k$.
3. Nájdime obrazy $a'_u (a'_u || US), a'_v (a'_v || VS)$. Priamky $a'_u, a'_v$ sú asymptoty hyperboly.

Priesečník asymptot $a'_u, a'_v$ (ozn. $Q'$) je stredom hyperboly.Osy hyperboly $o´_1, o´_2$ rozpoľujú uhly asymptot. Hlavnú os $o´_1$ označíme tú, pre ktorú odpovedajúca priamka $o_1$ pretína kružnicu $k$ v dvoch bodoch. Označme ich $A, B$.Bodom $A, B$ odpovedajú body $A', B'$ hyperboly $k'$, ktoré sú jej hlavné vrcholy.

Poznámka. V našej konštrukcii sme použili na "vykreslenie" hyperboly nástroj "Množina bodov".